8.5 直线、平面垂直的判定及其性质-【直击双1流】2023版高考数学真题分类全刷

8. 5　 直线、平面垂直的判定及其性质 1 线、面垂直的判定 1. (2021·新高考卷Ⅰ,12,5分,★★★★) 在 正三棱柱ABC - A1B1C1 中,AB = AA1 = 1,点 Р 满足BP→ = λBC→ +μBB1 →,其中 λ ∈ [0,1], μ ∈ [0,1],则 (　 　 ) A. 当 λ = 1 时,△AB1P 的周长为定值 B. 当 μ = 1 时, 三棱锥 P - A1BC 的体积 为定值 C. 当 λ = 1 2 时, 有且仅有一个点 P, 使得 A1P ⊥ BP D. 当 μ = 1 2 时, 有且仅有一个点 P, 使得 A1B ⊥ 平面 AB1P 2. (2022·全国卷乙(文),18,12 分,★★★) 如 图,四面体 ABCD 中,AD ⊥ CD,AD = CD, ∠ADB = ∠BDC,E 为 AC 的中点. (1) 证明:平面 BED ⊥ 平面 ACD. (2) 设AB = BD = 2,∠ACB = 60°,点F在BD 上,当△AFC的面积最小时,求三棱锥F ABC 的体积. 3. (2022·全国卷甲,18,12 分,★★★) 在四 棱锥 P - ABCD中,PD ⊥ 底面 ABCD,CD ∥ AB,AD = DC = CB = 1,AB = 2,DP = 3 . (1) 证明:BD ⊥ PA; (2) 求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值. 4. (2021·全国卷乙(文),18,12分,★★★) 如 图,四棱锥P - ABCD 的底面是矩形,PD ⊥ 底面 ABCD,M 为 BC 的中点,且 PB ⊥ AM. (1) 证明:平面 PAM ⊥ 平面 PBD; (2) 若 PD = DC = 1,求四棱锥 P - ABCD的 体积. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 821 5. (2021·全国卷甲(文),19,12分,★★★) 已 知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中,侧面 AA1B1B 为正方形,AB = BC = 2,E,F 分别为 AC 和 CC1 的中点,BF ⊥ A1B1 . (1) 求三棱锥 F - EBC 的体积; (2) 已知D为棱A1B1 上的点,证明:BF⊥DE. 6. (2020·全国卷Ⅰ(文),19,12 分,★★★) 如 图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心, △ABC 是底面的内接正三角形,P 为 DO 上 一点,∠APC = 90°. (1) 证明:平面 PAB ⊥ 平面 PAC. (2) 设DO = 2 ,圆锥的侧面积为 3 π,求三 棱锥 P - ABC 的体积. 7. (2020·江苏,15,14 分,★★★) 在三棱柱 ABC - A1B1C1 中,AB ⊥ AC,B1C ⊥ 平面 ABC,E,F 分别是 AC,B1C 的中点. (1) 证明:EF ∥ 平面 AB1C1 . (2) 证明:平面 AB1C ⊥ 平面 ABB1 . 8. (2018·浙江,19,15分,★★★) 如图,已知 多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C 均垂直于 平面 ABC,∠ABC = 120°,A1A = 4,C1C = 1, AB = BC = B1B = 2. (1) 证明:AB1 ⊥ 平面 A1B1C1 . (2) 求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正 弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 921 9. (2018·江苏,15,14分,★★★) 在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中,AA1 = AB,AB1 ⊥