6.1 数列的概念与简单表示法-【直击双1流】2023版高考数学真题分类全刷

第六章 　 数 　　 列 　 6. 1　 数列的概念与简单表示法 1 数列的概念 1. (2017·上海,10,5 分,★★★) 已知数列 {an} 和{bn},其中 an = n2,n ∈ N∗,{bn} 的 项是互不相等的正整数,若对于任意 n ∈ N∗,{bn} 的第 an 项等于{an} 的第 bn 项,则 lg(b1b4b9b16) lg(b1b2b3b4) = . 2. (2016·上海(文),14,4分,★★★) 无穷数 列{an} 由 k 个不同的数组成,Sn 为{an} 的 前 n项和. 若对任意 n∈N∗,Sn ∈ {2,3},则 k 的最大值为 . 3. (2021·北京,21,15 分,★★★★★) 定义 Rp 数列{an}:对 p ∈ R,满足: ①a1 + p≥0,a2 + p = 0;②∀n∈N∗,a4n-1 < a4n;③∀m,n ∈N∗,am+n ∈ {am + an + p,am + an + p + 1}. (1) 前 4 项为 2, - 2,0,1 的数列可以是 R2 数列吗? 说明理由. (2) 若{an} 是 R0 数列,求 a5 的值. (3) 是否存在 p ∈ R, 使得存在 Rp 数列 {an},对任意 n ∈ N∗,满足数列{an} 的前 n 项和 Sn ≥ S10? 若存在,求出所有这样的 p;若不存在,说明理由. 2 数列的通项公式及递推关系式 4. (2022·全国卷乙,4,5 分,★★) 嫦娥二号 卫星在完成探月任务后,继续进行深空探 测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行 星. 为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周 期的比值,用到数列{bn}:b1 = 1 + 1 α1 ,b2 = 1 + 1 α1 + 1 α2 ,b3 = 1 + 1 α1 + 1 α2 + 1 α3 ,…, 依此类推,其中 α k ∈ N∗(k = 1,2,…) . 则 (　 　 ) A. b1 < b5 B. b3 < b8 C. b6 < b2 D. b4 < b7 5. (2022·浙江,10,4分,★★★★) 已知数列 {an} 满足 a1 = 1,an+1 = an - 1 3 a2n(n∈N∗), 则 (　 　 ) A. 2 < 100a100 < 5 2 B. 5 2 < 100a100 < 3 C. 3 < 100a100 < 7 2 D. 7 2 < 100a100 < 4 6. (2021·浙江,10,4分,★★★★★) 已知数 列 {an} 满足 a1 = 1,an+1 = an 1 + an (n ∈ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 08 N∗) . 记数列{an} 的前 n 项和为 Sn,则 (　 　 ) A. 1 2 < S100 < 3 B. 3 < S100 < 4 C. 4 < S100 < 9 2 D. 9 2 < S100 < 5 7. (2021·上海,12,5分,★★★★) 已知 ai ∈ N∗(i = 1,2,…,9),对任意的 k ∈ N∗(2 ≤ k ≤ 8),ak = ak-1 + 1 或ak = ak+1 - 1 中有且 仅有一个成立,且 a1 = 6,a9 = 9,则a1 + … + a9 的最小值为 . 8. (2015·江苏,11,5分,★★★) 数列{an} 满 足 a1 = 1,且 an+1 - an = n + 1(n ∈ N∗),则 数列{ 1 an } 的前 10 项和为 . 9. (2022·北京,21,15 分,★★★★★) 已知 Q:a1,a2,…,ak 为有穷整数数列. 给定正整 数m,若对任意的 n ∈ {1,2,…,m},在 Q中 存在 ai,ai +1,ai +2,…,ai +j( j ≥ 0),使得 ai + ai +1 + ai +2 + … + ai +j = n,则称 Q 为 m - 连 续可表数列. (1) 判断 Q:2,1,4 是否为 5 - 连续可表数 列? 是否为 6 - 连续可表数列? 说明理由; (2) 若 Q:a1,a2,…,ak 为 8 - 连续可表数 列,求证: k 的最小值为 4; (3) 若 Q:a1,a2,…,ak 为 20 - 连续可表数 列,且 a1 + a2 + … + ak