4.8 解三角形的综合应用-【直击双1流】2023版高考数学真题分类全刷

30. (2019·江苏,15,14分,★★★) 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1) 若 a = 3c,b = 2 ,cos B = 2 3 ,求 c的值; (2) 若sin A a = cos B 2b ,求 sin(B + π 2 ) 的值. 31. (2018·全国卷Ⅰ,17,12分,★★★) 在平 面四边形 ABCD 中,∠ADC = 90°,∠A = 45°,AB = 2,BD = 5. (1) 求 cos∠ADB; (2) 若 DC = 2 2 ,求 BC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4. 8　 解三角形的综合应用 1 与面积有关的问题 1. (2019·北京(文),8,5分,★★★★) 如图, A,B 是半径为 2 的圆周上的定点,P 为圆周 上的动点,∠APB 是锐角,大小为 β. 图中阴 影区域的面积的最大值为 (　 　 ) A. 4β + 4cos β B. 4β + 4sin β C. 2β + 2cos β D. 2β + 2sin β 2. (2018·全国卷Ⅲ,9,5 分,★★★)△ABC 的 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 △ABC 的面积为 a2 + b2 - c2 4 ,则 C = (　 　 ) A. π 2 B. π 3 C. π 4 D. π 6 3. (2021·全国卷乙,15,5分,★★) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 3 ,B = 60°,a2 + c2 = 3ac, 则 b = . 4. (2019·全国卷Ⅱ,15,5分,★★)△ABC的 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 b = 6, a = 2c,B = π 3 , 则 △ABC 的 面 积 为 . 5. (2018·全国卷Ⅰ(文),16,5分,★★★)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 bsin C + csin B = 4asin Bsin C,b2 +c2 - a2 = 8,则 △ABC 的面积为 . 6. (2018·江苏,13,5 分,★★★) 在 △ABC 中, 角 A,B,C 所对 的 边 分 别 为 a,b,c, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 07 ∠ABC = 120°,∠ABC 的平分线交 AC 于点 D, 且 BD = 1, 则 4a + c 的 最 小 值 为 . 7. (2017·浙江,11,4分,★★) 我国古代数学 家刘徽创立的“割圆术” 可以估算圆周率 π,理论上能把 π 的值计算到任意精度. 祖 冲之继承并发展了“割圆术”,将 π 的值精 确到小数点后七位,其结果领先世界一千 多年. “割圆术” 的第一步是计算单位圆内 接正六边形的面积 S6,S6 = . 8. (2017·浙江,14,6分,★★★) 已知 △ABC, AB = AC = 4,BC = 2.点 D 为 AB 延长线上 一点,BD = 2, 连接 CD, 则 △BDC 的面积 是 ,cos∠BDC = . 9. (2021·新高考卷 Ⅱ,18,12 分,★★★) 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,b = a + 1,c = a + 2. (1) 若 2sin C = 3sin A,求 △ABC 的面积. (2) 是否存在正整数 a,使得 △ABC 为钝角 三角形? 若存在,求出 a 的值;若不存在,请 说明理由. 10. (2020 · 全 国 卷 Ⅰ( 文 ),18,12 分, ★★★)△ABC的内角 A,B,C的对边分别 为 a,b,c. 已知 B = 150°. (1) 若 a = 3 c,b = 2 7 ,求 △ABC的面积; (2) 若 sin A + 3 sin C = 2 2 ,求 C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �