4.7 正弦定理和余弦定理-【直击双1流】2023版高考数学真题分类全刷

4. 7　 正弦定理和余弦定理 1 正弦定理 1. (2017·全国卷Ⅰ(文),11,5分,★★★)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 sin B + sin A(sin C - cos C) = 0,a = 2,c = 2 ,则 C = (　 　 ) A. π 12 B. π 6 C. π 4 D. π 3 2. (2017·山东,9,5分,★★★) 在 △ABC中, 角 A,B,C的对边分别为 a,b,c. 若 △ABC为 锐角三角形, 且满足 sin B(1 + 2cos C) = 2sin Acos C + cos Asin C,则下列等式成立 的是 (　 　 ) A. a = 2b B. b = 2a C. A = 2B D. B = 2A 3. (2019·全国卷Ⅱ(文),15,5分,★★)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 bsin A + acos B = 0,则B = . 4. (2019·浙江,14,6 分,★★★) 在 △ABC 中,∠ABC = 90°,AB = 4,BC = 3,点 D 在线 段 AC 上. 若 ∠BDC = 45°, 则 BD = ,cos∠ABD = . 5.(2022·新高考卷Ⅰ,18,12 分,★★★★) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 cos A 1 + sin A = sin 2B 1 + cos 2B . (1) 若 C = 2π 3 ,求 B; (2) 求a 2 + b2 c2 的最小值. 6. (2022·浙江,18,12 分,★★★★) 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 4a = 5 c,cos C = 3 5 . (1) 求 sin A 的值; (2) 若 b = 11,求 △ABC 的面积. 2 余弦定理 7. (2021·全国卷甲(文),8,5 分,★★) 在 △ABC中,已知B = 120°,AC = 19 ,AB = 2, 则 BC = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 5 D. 3 8. (2020·全国卷 Ⅲ,7,5 分,★★) 在 △ABC 中,cos C = 2 3 ,AC = 4,BC = 3,则 cos B = (　 　 ) A. 1 9 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 9. (2018 ·全国卷 Ⅱ,6,5 分,★★★) 在 △ABC 中,cos C 2 = 5 5 ,BC = 1,AC = 5,则 AB = (　 　 ) A. 4 2 B. 30 C. 29 D. 2 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 56 10. (2022·北京,16,13分,★★★★) 在 △ABC 中,sin 2C = 3 sin C. (1) 求 ∠C; (2) 若 b = 6,且 △ABC 的面积为 6 3 ,求 △ABC 的周长. 3 利用正、余弦定理判断三角形的形状 11. (2020 · 全 国 卷 Ⅱ( 文 ),17,12 分, ★★★)△ABC的内角 A,B,C的对边分别 为 a,b,c,已知 cos2( π 2 + A) + cos A= 5 4 . (1) 求 A; (2) 若 b - c = 3 3 a,证明:△ABC是直角三 角形. 4 利用正、余弦定理解三角形 12. (2019·全国卷Ⅰ(文),11,5 分,★★)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 asin A - bsin B = 4csin C,cos A = - 1 4 ,则 b c = (　 　 ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 13. (2022·全国卷甲,16,5 分,★★★★) 已 知 △ABC 中, 点 D 在边 BC 上,∠ADB = 120°, AD = 2, CD = 2BD. 当AC AB 取得最小 值时,BD = . 14. (2021·浙江,14,6 分,★★★) 在 △ABC 中,∠B = 60°,AB =