4.1 任意角和弧度制、任意角的三角函数-【直击双1流】2023版高考数学真题分类全刷

第四章 　 基本初等函数 Ⅱ(三角函数) 4. 1　 任意角和弧度制、任意角的三角函数 1 任意角 1. (2016·上海(春),13,3分,★★) 若 sin α > 0,且 tan α < 0,则角 α 的终边位于(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 弧度制 2. (2005·北京(文),5,5 分,★★★) 从原点 向圆 x2 + y2 -12y + 27 = 0作两条切线,则该 圆夹在两条切线间的劣弧长为 (　 　 ) A. π B. 2π C. 4π D. 6π 3 任意角的三角函数 3. (2020·全国卷 Ⅱ,2,5 分,★★) 若 α 为第 四象限角,则 (　 　 ) A. cos 2α > 0 B. cos 2α < 0 C. sin 2α > 0 D. sin 2α < 0 4. (2020·北京,10,4 分,★★★★)2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日 (π Day) . 历史上,求圆周率 π 的方法有多种, 与中国传统数学中的“割圆术” 相似,数学 家阿尔·卡西的方法是:当正整数 n充分大 时,计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和 外切正 6n边形(各边均与圆相切的正 6n边 形) 的周长,将它们的算术平均数作为 2π 的近似值. 按照阿尔·卡西的方法,π 的近 似值的表达式是 (　 　 ) A. 3n(sin 30° n + tan 30° n ) B. 6n(sin 30° n + tan 30° n ) C. 3n(sin 60° n + tan 60° n ) D. 6n(sin 60° n + tan 60° n ) 5. (2018·全国卷Ⅰ(文),11,5分,★★★)已 知角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非 负半轴重合,终边上有两点 A(1,a),B(2, b),且 cos 2α = 2 3 ,则 | a - b | = (　 　 ) A. 1 5 B. 5 5 C. 2 5 5 D. 1 6. (2020·山东,15,5分,★★★★) 某中学开 展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截 面如图所示. O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在 圆的圆心,A是圆弧 AB与直线 AG的切点,B 是圆弧 AB与直线 BC的切点,四边形 DEFG 为矩形,BC ⊥ DG, 垂足为 C,tan∠ODC = 3 5 ,BH∥DG,EF = 12 cm,DE = 2 cm,A到直 线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm,圆孔半径为 1 cm, 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 cm2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25 7. (2017·北京,12,5分,★★★) 在平面直角 坐标系 xOy中,角 α 与角 β 均以 Ox为始边, 它们的终边关于 y 轴对称. 若 sin α = 1 3 ,则 cos(α - β) = . 8. (2017·上海,11,5分,★★★) 设 α1,α2 ∈ R, 且 1 2 + sin α1 + 1 2 + sin 2α2 = 2, 则 | 10π - α1 - α2 | 的 最 小 值 等 于 . 9. (2016·上海,7,4分,★★) 方程 3sin x = 1 + cos 2x 在 区 间 [0,2π] 上 的 解 为 . 10. (2018·浙江,18,14 分,★★★) 已知角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负 半轴重合,它的终边过点 P( - 3 5 , - 4 5 ) . (1) 求 sin(α + π) 的值; (2) 若角 β 满足 sin(α + β) = 5 13 ,求 cos β 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4. 2　 同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式 1 同角三角函数的基本关系式 1. (2021·新高考卷Ⅰ,6,5分,★★★) 若 tan