3.2 第3课时 导数的综合应用&3.3 定积分与微积分基本定理-【直击双1流】2023版高考数学真题分类全刷

第 3 课时 　 导数的综合应用 1 利用导数研究函数零点问题 1.(2017·全国卷 Ⅲ,11,5 分,★★★) 已知函 数 f(x) = x2 -2x + a(ex-1 + e -x+1) 有唯一零 点,则 a = (　 　 ) A. - 1 2 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 2. (2015·安徽,15,5分,★★★★)设x3 + ax + b = 0,其中 a,b均为实数,下列条件中,使得 该 三 次 方 程 仅 有 一 个 实 根 的 是 . ( 写 出 所 有 正 确 条 件 的 编号) ①a =- 3,b =- 3;②a =- 3,b = 2;③a =- 3, b > 2;④a = 0,b = 2;⑤a = 1,b = 2. 3. (2022·全国卷乙,21,12 分,★★★★) 已 知函数 f(x) = ln(1 + x) + axe -x . (1) 当 a = 1 时,求曲线 y = f(x) 在点(0, f(0)) 处的切线方程; (2) 若 f(x) 在区间( - 1,0),(0, + ∞ ) 各恰 有一个零点,求 a 的取值范围. 4. (2022·全国卷甲,21,12 分,★★★★) 已 知函数 f(x) = e x x - ln x + x - a. (1) 若 f(x) ≥ 0,求 a 的取值范围; (2) 证明: 若 f(x) 有两个零点 x1,x2, 则 x1x2 < 1. 5. (2022·全国卷乙(文),20,12分,★★★★) 已知函数 f(x) = ax - 1 x - (a + 1)ln x. (1) 当 a = 0 时,求 f(x) 的最大值; (2) 若 f(x) 恰有一个零点, 求 a 的取值 范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 6. (2022·新高考卷Ⅰ,22,12 分,★★★★) 已 知函数 f(x) = ex - ax和 g(x) = ax - ln x有 相同的最小值. (1) 求 a; (2) 证明:存在直线 y = b,其与两条曲线 y = f(x) 和 y = g(x) 共有三个不同的交点且从 左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 7. (2020·全国卷Ⅰ(文),20,12分,★★★★) 已 知函数 f(x) = ex - a(x + 2) . (1) 当 a = 1 时,讨论 f(x) 的单调性; (2) 若 f(x) 有两个零点,求 a 的取值范围. 8. (2020·全国卷 Ⅲ,21,12 分,★★★★) 设 函数 f(x) = x3 + bx + c,曲线 y = f(x) 在点 ( 1 2 ,f( 1 2 )) 处的切线与 y 轴垂直. (1) 求 b; (2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明:f(x) 所有零点的绝对值都不大于 1. 9. (2020·浙江,22,15 分,★★★★★) 已知 1 < a ≤ 2,函数 f(x) = ex -x - a,其中 e = 2. 718 28… 是自然对数的底数. (1) 证明:函数 y = f(x) 在(0, + ∞ ) 上有唯 一零点. (2) 记 x0 为函数 y = f(x) 在(0, + ∞ ) 上的 零点,证明: ① a - 1 ≤ x0 ≤ 2(a - 1) ; ②x0 f(e x0) ≥ (e - 1)(a - 1)a. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 34 10. (2019·全国卷Ⅰ,20,12分,★★★★)已知函 数 f(x)=