3.2 第1课时 导数与函数的单调性-【直击双1流】2023版高考数学真题分类全刷

27. (2022 · 全 国 卷 甲 ( 文 ),20,12 分, ★★★★) 已知函数 f(x) = x3 - x,g(x) = x2 + a,曲线 y = f(x) 在点(x1,f(x1)) 处的 切线也是曲线 y = g(x) 的切线. (1) 若 x1 =- 1,求 a; (2) 求 a 的取值范围. 28. (2018·天津,20,14分,★★★★★) 已知 函数 f(x) = ax,g(x) = logax,其中 a > 1. (1) 求函数 h(x) = f(x) - xln a 的单调 区间; (2) 若曲线 y = f(x) 在点(x1,f(x1)) 处的 切线与曲线 y = g(x) 在点(x2,g(x2)) 处的 切线平行,证明 x1 + g(x2) = - 2ln ln a ln a ; (3) 证明当 a ≥ e 1 e 时,存在直线 l,使 l是曲 线 y = f(x) 的切线,也是曲线 y = g(x) 的 切线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3. 2　 导数的应用 第 1 课时 　 导数与函数的单调性 1 利用导数确定函数的单调性(单调区间) 1. (2017·浙江,7,4 分,★★★) 函数 y = f(x) 的导数 y = f′(x) 的图象如图所示,则 函数y = f(x) 的图象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. (2015·全国卷Ⅱ,12,5分,★★★) 设函数 f′(x) 是奇函数 f(x)( x ∈ R) 的导函数, f( - 1) = 0,当 x > 0 时,xf′(x) - f(x) < 0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 82 则使得 f(x) > 0 成立的 x 的取值范围是 (　 　 ) A. ( - ∞ , - 1) ∪ (0,1) B. ( - 1,0) ∪ (1, + ∞ ) C. ( - ∞ , - 1) ∪ ( - 1,0) D. (0,1) ∪ (1, + ∞ ) 3. (2015·陕西(文),9,5分,★★) 设 f(x) = x - sin x,则 f(x) (　 　 ) A. 既是奇函数又是减函数 B. 既是奇函数又是增函数 C. 是有零点的减函数 D. 是没有零点的奇函数 4. (2017·山东,15,5 分,★★★) 若函数 y = ex f(x)(e = 2. 718 28… 是自然对数的底 数) 在 f(x) 的定义域上单调递增,则称函数 f(x) 具有 M 性质,下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 . ①f(x) = 2 -x ②f(x) = 3 -x ③f(x) = x3 ④f(x) = x2 + 2 5. (2022·新高考卷Ⅱ,22,12 分,★★★★) 已 知函数 f(x) = xeax - ex . (1) 当 a = 1 时,讨论 f(x) 的单调性; (2) 当 x > 0时,f(x) < - 1,求a的取值范围; (3) 设 n ∈ N∗, 证 明: 1 12 + 1 + 1 22 + 2 + … + 1 n2 + n > ln(n + 1) . 6. (2022·北京,20,15 分,★★★★) 已知函 数 f(x) = ex ln(1 + x) . (1) 求曲线 y = f(x) 在点(0, f(0)) 处的切 线方程; (2) 设 g(x) = f′(x), 讨论函数 g(x) 在 [0, + ∞ ) 上的单调性; (3) 证明: 对任意的 s,t ∈ (0, + ∞ ), 有 f( s + t) > f( s) + f( t) . 7. (2021·全国卷乙(文),21,12分,★★★★)已 知函数 f(x) = x3 - x2 + ax + 1. (1) 讨论 f(x) 的单调性; (2) 求曲线 y = f(x) 过坐标原点的切线与曲 线y = f(x) 的公共点的坐标. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋