专题08 导数-学易金卷：2023年高考数学二模试题分项汇编（江苏专用）

专题08 导数 一、多选题 1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数的导函数，且，，则（    ） A．是函数的一个极大值点 B． C．函数在处切线的斜率小于零 D． 二、单选题 3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数．设s为正数，则在中（    ） A．不可能同时大于其它两个 B．可能同时小于其它两个 C．三者不可能同时相等 D．至少有一个小于 三、填空题 4．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，若，则不等式的解集是________． 5．（2023·江苏常州·校考二模）已知函数的图像关于直线对称，且时，，则曲线在点处的切线方程为___________. 6．（2023·江苏南通·二模）过点作曲线的切线，写出一条切线的方程_______． 7．（2023·江苏·二模）已知曲线与在处的切线互相垂直，则 __________ ， ， ． 四、解答题 8．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，讨论函数的零点个数. 9．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数，． (1)若，求证：； (2)若关于的不等式的解集为集合，且，求实数的取值范围． 10．（2023·江苏·统考二模）已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围. 11．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对任意的，求实数a的取值范围. 12．（2023·江苏常州·校考二模）已知函数，其中. (1)当时，求的值； (2)讨论的零点个数. 13．（2023·江苏南通·二模）已知函数． (1)若，，求实数a的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：．  14．（2023·江苏·二模）已知函数 ． (1)当时，求函数的单调递增区间 (2)若函数在的最小值为，求的最大值． 15．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知函数． (1)若对时，，求正实数a的最大值； (2)证明：； (3)若函数的最小值为m，证明：方程有唯一的实数根，（其中是自然对数的底数） 16．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数，． (1)若，证明：在上单调递增． (2)若存在两个极小值点． ①求实数的取值范围； ②试比较与的大小． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 导数 一、多选题 1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】构建函数根据题意分析可得，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据的单调性，分类讨论分析判断. 【详解】原式变形为， 构造函数，则， ∵， 当时，，则，即； 当时，，则，即； 故在上单调递减，在上单调递增， 对于A：取，则 ∵在上单调递增，故， 即满足题意，但，A错误； 对于B：若，则有： 当，即时，则，即； 当，即时，由在时单调递增，且， 故，则； 综上所述：， B正确； 对于C：若，则有： 当，即时，显然成立； 当，即时，令， ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴当时，所以，即， 由可得，即 又∵由在时单调递增，且， ∴，即； 综上所述：，C正确； 对于D：取，，则， ∵在上单调递减，故， ∴故，满足题意，但，D错误. 故选：BC. 【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式： （1）积型：， ①构造形式为：，构建函数； ②构造形式为：，构建函数； ③构造形式为：，构建函数. （2）商型：， ①构造形式为：，构建函数； ②构造形式为：，构建函数； ③构造形式为：，构建函数. 2．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数的导函数，且，，则（    ） A．是函数的一个极大值点 B． C．函数在处切线的斜率小于零 D． 【答案】AB 【分析】根据导数符号与单调性的关系，以及极值的定义逐项分析判断. 【详解】令，解得，则在上单调递增， 令，解得或，则在上单调递减， 故是函数的一个极大值点，，A、B正确； ∵，则，故函数在处切线的斜率大于零，C错误； 又∵，则，但无法确定函数值的正负，D错误； 故选：AB. 二、单选题 3．（20