单元1 专题5 有关分段函数的取值范围问题-高中数学教学与测试·专题复习

高中数学致学与则缸专题复习 专题5 有关分段函数的取值范围问题 雪点回顾 在每年的高考试题中，函数问题一直占有较大的分量，因为分段函数解析式中可以同时容纳多种函数模 型，进而可以考查不同函数的图象和性质，从而使得分段函数成为西数中的难，点，分段函数既可以以填空题 的形式出现，也可以融合在解答题的解题过程中，利用函数的图象深究分段函数的性质是解决此类问题的主 要方法 目（多选题）德国著名数学家狄利克雷在数学领 自主热身 城成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名字命名 x∠0·若 的函数=.E0称为狄利克雷函数，则关 国已知函数f(x)= e. l0,x∈CmQ -x2-2x十1，x>0, 于f(x),下列说法正确的是()， f(a一1)≥f(一a2+1),则实数a的取值范围是( A.Hx∈R,f(f(x)=1 A.[-2,1] B.函数f(x)是偶函数 B.[-1,2] C任意一个非零有理数T,f(.x+T)=f(x)对任 C.(-∞，-2]U[1,+∞) 意x∈R恒成立 D.(-o∞.-1]U[2,+o∞) D.存在三个点A(x1·f(1),B(,f(x)), C(,f(x)使得△ABC为等边三角形 2元，0≤r≤1， ☑对实数m,,定义运算“①”：m④n 已知函数f(x) 若关于x x>1. n,-刀20， 设函数f(x)=(x一x)⊕(r一1)， n,m一<0。 的方程f(x)=一x+a(a∈R)恰有两个互异的实数 x∈R,实数a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c),则 a+b+c的取值范围是( 解，则a的取值范围为 A.(.) B(,号) c() D.(任+】 16 例3设a为实数，函数f(.x)=2r+(x一a)川r一a. 到题精出 (1)若f(0)≥1，求实数a的取值范围： (2)求f(x)的最小值： ax-1, 例口已知函数fx)= 0, 的 (3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+co),直接写出 x-ax+lr-21,x>0 (不需给出演算步骤)不等式(x)≥1的解集. 图象恰好经过三个象限，则实数：的取值范围是 例☑已知a≥3，函数F(x)=min(2引x-1,x2 p,p≤g, 2ax+4a-2},其中min{p,g)= 4,p>g (1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的 x的取值范围： (2)①求F(x)的最小值m(a): ②求F(x)在区问o,6]上的最大值Ma). 17 高中数学数学与侧缸专题复习 的单调增区同的长度为-“十力=6，（参见图1）. 样倒剖斯 2 2 (i)当|p1-p:|>log2 若f(x)=3ml,f(x)=2·3-%,x∈R,p 时，不妨设p<p,则A一B> f(x),f(r)f(x〉， log2.于是当x≤p:时，有 和p:为常数，且f(.x)= f(x),f(x)>f(x). f(x)=3%+<341< (1)求f(x)=f(x)对所有的实数x成立的充要 f:(.c),从而f(x)=f(x):当 条件（用p·p,表示）： x≥A时，有f(x)=3A= 图2 (2)设a,b∈R.a<b且p1·p2∈(a,b),若f(a)= 34A+一4=344·3-4 f(b),求证：f(x)在区间[a,们上的单调增区间的长度 32·3=f(x),从而f(x)=f(x):当p<x<p 和为2巴（闭区间[m,的长度定义为一m》. 时，(x)=3A,f(x)=2·34,由方程3-A=2· 3的，解得f人(x）与f6(x)图象交点的横坐标为m= 分析第(1)题先合理转化为对所有实数x都有 f:(x)≤f:(x)恒成立问题，然后构造函数h(x)= b+2g20. 2 Ix一p一|x一p:|,画出图象，利用数形结合求出函 显然A<=-t(p:-)-10g,2]<,这 数的最大值，从而求出充要条件，第(2)题可分两种情 表明工在p与p:之间.所以 况讨论：①当|p1一p2|≤1og2时，由(1)可知f(x)= f1(x),画出函数图象，容易求出结论.②当少一p|> 「f(x),p1≤x≤x· f(r)= og:2时，不妨设p1<:,则p一p1>log12,于是 f(x),do<t≤pg: f(r),a≤x≤， fr)=,pSS:共中为() 综上可知，在区间[a,b们上，fx)- f(x),x<x≤p, f(r),b (参见图2). r的根，解得=士十2og,2.面出面数在 2 故由函数f(x)及f(x)的单调性可知，f(x)在 区间[a,b们上的图象，易求出函数f(x)在区间[a,b们上 区何[a,b们上的单调增区问的长度之和为(xn一p,)十 的单调增区何的长度和为x一p十b一p.再由f()= (h-p:).由于f(a)=f(b),即3n“=2·3-A,故得 f(b)