单元4 专题18 直线与圆的问题-高中数学教学与测试·专题复习

高中数学致学与侧试专题复习 专题18 直线与圆的问题 者点回顾 直线与圆是解析几何中最基本的内容，也是高考必考的一个重要知识点。在判断直线与圆、圆与图的位 置关系时，通常可选择几何法或代数法，两种方法各有所长，需要注意区别使用.例如，两图相交，若求公共弦 所在直线方程，则使用代数法（将两圆方程联立相减可得）比较合适：若求公共弦长，则应用几何法较为简单， 当然考虑到圆的特性，在处理直线与圆的问题过程中，要特别重视几何特性的挖摇，如将到图上，点的距离问 题转化为到圆心的距离问题.尤其要重视隐圆问题的挖掘，如啊波罗尼圆（到两定点距离之比为定值）、定和 暴圆（到两定点的距离的平方和为定值） 目（多选题）已知点A是直线1：x+y一2=0上 自主热身 一定点，点P,Q是圆x°十y=1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A的坐标可以是(). 口若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心 A.(0,√2) B.(1.2-1) 到直线2x一y一3=0的距离为( C.(2,0) D.(W2-1,1) A得B5 C.35 5 n ☑已知M,N分别是圆C:(x+1)+(y-6) ④在平面直角坐标系xOy中，A,B是圆C:x2+ 1和圆D:(x一2)十(y一6)=1上的两个动点，点P (一)广=汤上的两个动点，已知P停.o)满足PA- 在直线1：y=x上，则PM+PN的最小值是() PB,则△PAB面积的最大值是 A.3、17-2 B.10 C.√65-2 D.12 58 例☑已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P满 倒题精出 足PA=2PB.设动点P的轨迹为曲线E,直线I:y= kx一4. 例☐已知圆C:x+y+2.x-4y十3=0. (1)求曲线E的轨迹方程 (1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等， (2)若1与曲线E交于不同的两点C,D,且 求此切线的方程： ∠COD=120(O为坐标原点)，求直线1的斜率， (2)从圆C外一点P(x1y)向圆C引一条切线， (3)若=1，Q是直线1上的动点，过Q作曲线E 切点为M,O为坐标原点，且有PM=PO,求使得PM 的两条切线QM,QN,切点分别为M,N,试探究：直线 取得最小值时点P的坐标， MN是否过定点.若存在定点，请写出坐标：若不存在， 请说明理由， 59 高中数学致学与测缸专题复习 例3如图，已知定圆C:x+(y一3)=4，定直线 m:x+3y十6=0，过点A(一1,0)的一条动直线1与直 柱倒剖拆 线m相交于点N,与圆C相交于P,Q两点，M是PQ 的中点 已知圆O:x十y2=1和点M(一1，-4). (1)当1与m垂直时，求证：l过圆心C. (1)过点M向圆O引切线，求切线的方程. (2)当PQ=2√3时，求直线l的方程. (2)求以点M为圆心，且被直线y=2x一12截得 弦长为8的圆M的方程. (3)设=AM·AN,试问t是否为定值？若为定 (3)设P为(2)中圆M上任意一点，过点P向圆 值，请求出t的值：若不为定值，请说明理由. O引切线，切点为Q.试探究：平面内是否存在一定点 R,使得眼为定值若存在，请求出定点R的坐标，并 指出相应的定值：若不存在，请说明理由. 分析(1)直线与圆相切，则圆心到直线的距离 等于半径，设出直线方程后即可列式求解，但需讨论直 线斜率不存在时的情形.(2)由点到直线的距离公式， 先求得点M到直线的距离，再根据所给弦长和垂径定 理即可确定半径，进而可求得圆M的方程，(3)采用 传定系数法，服设存在定点Ra,6),使得服为定值 入.根据切线长定理及两点间距离公式表示出PQ, PR,代入品-A并结合题M的方程，将根据恒等式 的合义可确定。，6A的值，从而得定点的皇标及眼 的值， 解(1)若过点M的直线斜率不存在，直线方程 为x=一1，为圆O的切线. 当切线的斜率存在时，设直线方程为y十4= k(x十1)，即kr一y十k一4=0，由圆心O到切线的距 离昌=1，解得=只，款物线方程为151一8y ”√k+I 17=0. 综上，切线方程为x=一1或15.x一8y一17=0. (2)点M(-1,-4)到直线2x一y-12=0的距 离为4=一2+4-12=25 5 因为圆M被直线y=2x一12载得的弦长为8，所 以半径r=√(25)+4=6. 所以圆M的方程为(x+1)2+(y十4)=36. ③)复设存在定点Ra,6),使得祭为定值，设 P(z.y). 因为点P在圆M上，所以(x十1)2+(y十4) 36,即x2+y2=-2.x-8y+19. 60 因为PQ为圆O的切线，所以PQ=PO一1= x+y-1. 又PR=(一a)+(一6，由聚-A,得 x+y-1=a[(x-a)+(y-b)], 即-2x-8y+19-1=a(-2x-8y+19-2a.x-2b