单元4 专题15 立体几何中的平行与垂直问题-高中数学教学与测试·专题复习

单元4 立几与解几 专题15 立体几何中的平行与垂直问题 上春点回顾 认识空间几何体的结构特征，正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系，发现，提出并用准确的数 学语言描述和表达基本图形平行、垂直关系的命题，始终是立体几何教与学的重，点，一方面，对空间几何体的 观察，分析有助于逐步形成空间观念，提升空间想象能力：另一方面，线面平行与垂直的儿何证明也对逻辑推 理能力提出了较高要求，结合近年来全国高考立体几何命题的规律及斯课标对立体几何的教学要求，可以预 测立体几何命题将继续以简单几何体为载体，重点考查空问线面的平行与垂直问题，同时考查转化思想， 目如图，在长方体 自主热身 ABCD-A:BCD1中，AD= DD,=1,AB=3,E,F,G分 卫已知m,n为不同的直线，a3为不同的平面， 别为AB,BC.CD,的中点， 给出下列命题： 点P在平面ABCD内，若直 0 [mLa. m⊥B, →n∥ai ② →m∥n: 线DP∥平面EFG,则线段D,P长度的最小值是 m⊥n n18 ( ）. mCa ③ mLa. →a∥3： ④nC3.→m∥n 4.2② B.6 mL8 3 b. a∥g 其中正确命题的序号是( A.②③ B.①②③ C.②④ D.①②④ ④在四棱锥P-ABCD中， 平面ABCD⊥平面PCD,底面 ABCD为梯形，AB∥CD,ADI ☑有下列四个条件： DC.有下列三个命题： ①at3,bC3,a∥bt ①AB∥平面PCD: ②bC3,a∥b: ②AD⊥平面PCD: ③a∥b∥c,bCB,cC3: ③若点M是棱PA的中点，则棱BC上存在一点 ④a,b是异面直线，a∥c,bC3,cC3. F,使MF∥PC 其中能保证直线：∥平面3的条件是( 其中正确命题的序号为 A.①② B.①③ C.①① D.②① 47 高中数学致学与侧缸专题复习 例☑如图，已知在长方体ABCD-A,B,CD,中， 倒题精出 E为AB的中点，AB=2AD,AC交DE于点M,N为 DD上一点， 例☐如图，在正三棱柱ABCA,B,C,中，点D在 (1)求证：平面AD,C⊥平面DD,E: 边BC上，AD⊥CD.求证： (1)平面ADC⊥平面BCCB: (②)若MN/学面DEC,求器的值 (2)直线AB∥平面ADC1· 48 例3如图，在三棱雏P-ABC中，BC⊥平面 PAB,已知PA=AB=BC,点D,E分别为PB,BC的 柱倒剖折 中点 (1)求证：AD⊥PE: 如图，在直三棱柱ABC- (2)若点F在线段AC上，满足AD∥平面PEF, AB:C,中，点D是线段AB上的 求气的值， 动点， (1)线段AB上是否存在点 (3)在(2)的条件下，又△PAB是边长为2的正 三角形，求点F到面PBC的距离. D.使得AC/平面ACD?若存在，请写出品的值。 并证明此时AC∥平面BCD:若不存在，请说明 理由， (2)已知平面ABB,A⊥平面CDB,求证： CD⊥AB. 分析第(1)题是一个探索性问题，考虑到平面 ABC经过AC,且与平面B,CD相交，这样构造出交 线后，便可将问题转化为证明线线平行，解答时需要注 意表述格式：第(2)题中条件“平面ABB:A1⊥平面 CDB,”的转化方向是线面垂直，由面面垂直的性质定 理，需要在面内构造交线BD的垂线，而考虑到要证 明的是CD⊥AB,因此只能“暗度陈仑”，在面ABB,A 内另行构造BD的垂线. 解D当品-1时AC∥平面BCD 证明如下： 连结BC,交B,C于点E,连 结DE,则点E是BC,的中点. 当品-1时，即点D是AB 的中点，由中位线定理得DE∥AC, 又因为DEC平面BCD,AC,丈平面B,CD,所以 AC∥平面BCD. (2)过点B作BP⊥DB,交DB,于点P. 因为平面ABBA⊥平面CDB·BPC平面 ABB,A,平而ABB:A∩平面CDB,=DB,所以 BP⊥平面CDB. 又因为CDC平面CDB,所以CD⊥BP 因为在直三棱柱ABCA,BC中，BB1⊥平面 ABC,CDC平面ABC,所以CD⊥BB,. 又因为BB二平面ABBA,,BPC平面ABB,A1, 且BB,∩BP=B,所以CD⊥平面ABB:A 而ABC平面ABB,A,放CD⊥AB. 说明第(1)题的解答也可采用分析法的形式，但 表达会显得冗长且可读性不强，我们通常采用“先说后 证”(“说”位置，“证”关系)的方法，表达流畅，也合乎我 49 高中数学致学与侧试专题复习 们的阅读书写习惯，第(2)题在解题思路上值得仔细揣 摩，由面面直的性质定理，平面ABB,A1⊥平面 CDB,这一条件可转化为线面垂直，而找寻这条垂线 (要直于交线DB,,或在平面CDB,内，或在平面 ABB:A,内)便成为解题的关键.因为要证明的是 CD⊥AB,所以只能另辟蹊径，