专题04 导数及其应用（解答题，5题型）-学易金卷：2023年高考数学三模试题分项汇编（新高考专用）

专题04 导数及其应用（解答题） 目录 题型一：利用导数求最值 1 题型二：利用导数证明不等式 2 题型三：利用导数研究不等式恒（能）成立问题 3 题型四：利用导数研究函数的零点（方程的根）问题 5 题型五：利用导数研究双变量问题 6 题型一：利用导数求最值 1．（2023·山西晋中·统考三模）． (1)讨论的单调性； (2)，若有两个极值点，且，试求的最大值． 2．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数. (1)证明：函数在上有且只有一个零点； (2)当时，求函数的最小值； (3)设，若对任意的恒成立，且不等式两端等号均能取到，求的最大值. 题型二：利用导数证明不等式 1．（2023·江苏南通·三模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：. 2．（2023·山西运城·统考三模）已知函数. (1)讨论函数在上的零点个数； (2)当且时，记，探究与1的大小关系，并说明理由. 3．（2023·辽宁大连·统考三模）（1）非零实数，满足：.证明不等式：. （2）证明不等式：. 4．（2023·安徽黄山·统考三模）已知函数， (1)试判断函数在上是否存在极值.若存在，说出是极大值还是极小值；若不存在，说明理由. (2)设，若，证明：不等式在上恒成立. 5．（2023·山西阳泉·统考三模）已知函数，其中a为常数，e为自然对数底数，…，若函数有两个极值点，. (1)求实数a的取值范围； (2)证明：. 题型三：利用导数研究不等式恒（能）成立问题 1．（2023·重庆·统考三模）已知函数，，． (1)求曲线在x＝1处的切线方程； (2)求使得在上恒成立的k的最小整数值． 2．（2023·河北唐山·统考三模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 3．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知函数. (1)试求函数的极值； (2)若存在实数使得成立，求实数的取值范围. 4．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数 (1)当时，求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 5．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 6．（2023·江苏·统考三模）已知函数，． (1)若，证明：当时； (2)当时，，求a的取值范围． 题型四：利用导数研究函数的零点（方程的根）问题 1．（2023·吉林·统考三模）已知函数（e是自然对数的底数），． (1)若函数，求函数在上的最大值． (2)若函数的图象与直线有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为，求证：． 2．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考三模）已知函数. （1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l过点（0，1-e），求实数a的值； （2）当a＞0时，若函数f（x）有且仅有3个零点，求实数a的取值范围. 3．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知. (1)若，证明：存在唯一零点； (2)当时，讨论零点个数. 题型五：利用导数研究双变量问题 1．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知函数. (1)若在单调递增，求实数的取值范围； (2)若，且，证明：. 2．（2023·湖北·校联考三模）已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若，在内存在不等实数，使得，证明：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数及其应用（解答题） 目录 题型一：利用导数求最值 1 题型二：利用导数证明不等式 5 题型三：利用导数研究不等式恒（能）成立问题 12 题型四：利用导数研究函数的零点（方程的根）问题 18 题型五：利用导数研究双变量问题 23 题型一：利用导数求最值 1．（2023·山西晋中·统考三模）． (1)讨论的单调性； (2)，若有两个极值点，且，试求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意得， 令，得两根为和． 当时，令，得，令，得， 于是在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得，令，得， 于是在上单调递减，在上单调递增． （2）由题意得，则． 令，则有两个不等正根， 于是，且，，即， 又，于是，且． 则 ， 令， 则． 令，则，于是在单调递增，在单调递减， 故， 即的最大值为. 2．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数. (1)证明：函数在上有且只有一个零点； (2)当时，求函数的最小值； (3)设，若对任意的恒成立，且不等式两端等号均能取到，求的最大值. 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) 【详解】（1）令，得，令， 要证