7.1.2复数的几何意义

第七章 复数 7.1复数的概念 7.1.2　复数的几何意义 实数可以用数轴上的点来表示。 实数 数轴上的点 (形) (数) 一一对应 思考1：在几何上，我们用什么来表示实数? 类比实数的表示，可以用什么来表示复数？ Z=a+bi(a, b∈R) a为实部! b为虚部! 复数的一般形式： 思考2：一个复数由什么唯一确定？ 复数z=a+bi 有序实数对(a,b) 直角坐标系中的点Z(a,b) x y o b a Z(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 x轴------实轴 y轴------虚轴 （数） （形） ------复数平面 (简称复平面) 一一对应 z=a+bi 复数的几何意义（一） 例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 表示复数的点所在象限的问题 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 转化 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想 温 馨 提 示 5 变式训练1：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值. 解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2. 6 变式训练2：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，证明：对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限. 所以不等式解集为空集， 所以复数所对应的点不可能位于第四象限. 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 平面向量 一一对应 一一对应 复数的几何意义（二） x y o b a Z(a,b) z=a+bi 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 x O z=a+bi y 复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义: Z (a,b) 对应平面向量 的模| |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。 | z | = | | 例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i； (2)z2=-3+4i ； (3)z3=5-5i； (4)z4=1+mi(m∈R) ； (5)z5=4a-3ai(a<0). 4.共轭复数 (1)定义:一般地,当两个复数的实部 ,虚部 时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. (3)性质:①两个共轭复数的对应点关于 对称. 相等 互为相反数 实轴 它本身 [例2] 在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i. (1)求向量,,对应的复数; 解:(1)由复数的几何意义知, =(1,0),=(2,1),=(-1,2), 所以=-=(1,1),=-=(-2,2),=-=(-3,1), 所以,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i. (2)表示:复数z的共轭复数表示为 ,即若z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi. ②实数的共轭复数是 ,即z=⇔z∈R. 利用这个性质,可以证明一个复数是实数. 例4、已知复数z=-3i的共轭复数为,则复数的模是(　　) A.5 B.8 C.6 D. 解析:(3)||=|z|==.故选D. $