9.1.2 线性回归方程-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

9.1.2 线性回归方程 一、线性回归方程 1、随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值，，的值不能由完全确定，它们之间是统计相关关系，可将，之间的关系表示为，其中是确定性函数，称为随机误差。 2、随机误差产生的主要原因 （1）所用的确定性函数不恰当引起的误差； （2）忽略了某些因素的影响； （3）存在观测误差。 3、线性回归模型中，的求法 称为线性回归模型，，，的估计值为，，则 其中， 4、回归直线和线性回归方程 直线称为回归直线，此直线方程称为线性回归方程，称为回归截距，称为回归斜率，称为回归值。 二、常见的非线性函数转换方法 1、幂型函数y＝axm(a为正数，x，y取正值) 对y＝axm两边取常用对数，有lg y＝lg a＋mlg x， 令u＝lg y，v＝lg x，则原式可变为u＝mv＋lg a，其中m，lg a为常数， 该式表示u，v的线性函数. 2、指数型函数y＝c·ax(a，c>0，且a≠1): 对y＝cax两边取常用对数，则有lg y＝lg c＋xlg a， 令u＝lg y，则原式可变为u＝xlg a＋lg c，其中lg a和lg c为常数， 该式表示u，x的线性函数.与幂函数不同的是x保持不变，用y的对数lg y代替了y. 3、反比例函数y＝ (k>0)：令u＝，则y＝ku，该式表示y，u的线性函数. 4、二次函数y＝ax2＋c：令u＝x2，则原函数可变为y＝au＋c，该式表示y，u的线性函数. 5、对数型函数y＝clogax：令x＝au，则原函数可变为y＝cu，该式表示y，u的线性函数. 题型一 线性回归方程的意义 【例1】（2023·高二课时练习）如图是某地区2012年至2021年的空气污染天数Y（单位：天）与年份X的折线图．根据2012年至2016年的数据，2017年至2021年的数据，2012年至2021年的数据分别建立线性回归模型，，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（2023·高二课时练习）根据如下样本数据，得到的线性回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 6 y 4 2.5 A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（2023·高二课时练习）根据如下样本数据，得到线性回归方程为，若样本点的中心为，则当X每增加1个单位时，Y平均（ ） X 3 4 5 6 7 Y 4.0 -0.5 0.5 A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位 C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位 【变式1-3】（2023·高二课时练习）（多选）关于回归分析，下列说法正确的是（ ） A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心 C．回归模型中一定存在随机误差 D．散点图能明确反映变量问的关系 【变式1-4】（2023·高二课时练习）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和的误差较大，去除后重新求得的回归直线 l 的斜率为1.2，则下列说法正确的是______. ①变量x与y呈正相关关系； ②去除后y的估计值增加速度变快； ③去除后与去除前样本点的中心不变； ④去除后的回归直线方程为. 题型二 样本中心点的应用 【例2】（2022春·江苏·高二校联考阶段练习）某产品的营销费用（万元）与净利润额（万元）的统计数据如下表： 3 4 5 6 40 42 45 51 根据上表可得回归方程中的为，据此预预营销费用为7万元时的净利润额为（ ）万元. A．52 B． C．53 D． 【变式2-1】（2023春·广西钦州·高二钦州一中校考期中）根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ） 2 4 5 6 8 30 40 50 70 A．60 B．55 C．50 D．45 【变式2-2】（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量为（ ） 气温x（） 18 13 10 －1 用电量y（度） 24 34 38 64 A．68度 B．66度 C．28度 D．12度 【变式2-3】（2023春·高二课时练习）由变量与相对应的一组数据得到的线性回归方程