专题08 变量间的相关关系及回归模型（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题08 变量间的相关关系及线性回归分析 知识点1 变量的相关关系 （1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系； （2）如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关； （3）一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，就称这两个变量线性相关. 知识点2 样本相关系数 （1）样本相关系数r＝ ； （2）样本相关系数r的性质 ①当r＞0时，称成对样本数据正相关；当r＜0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系； ②样本相关系数r的取值范围为[－1，1].当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 知识点3 一元线性回归模型 （1）经验回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做经验回归直线； （2）经验回归方程：＝x＋， 其中＝＝，＝－； （3）最小二乘法：通过求Q＝（yi－bxi－a）2的最小值而得到经验回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法. 知识点4 判断回归模型的拟合效果 由成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）按照最小二乘法得到经验回归方程＝x＋，其中y叫做观测值，叫做预测值，残差＝y－.相对于样本点（xi，yi）的随机误差＝yi－＝yi－（xi＋）. （1）残差分析法 ①作残差图：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或xi数据，或yi数据，这样作出的图形称为残差图； ②残差分析：残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高. （2）决定系数 （R2）法：R2＝1－.R2的值越趋近于1，模型的拟合效果越好. 考点1 成对数据的相关性 【例1】已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是 （　　） A.x与y正相关，x与z负相关 B.x与y正相关，x与z正相关 C.x与y负相关，x与z负相关 D.x与y负相关，x与z正相关 【答案】C　 【解析】因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关.因为y与z正相关，可设z＝y＋，＞0，则z＝y＋＝－0.1x＋＋，故x与z负相关. 【总结】判定两个变量相关性的方法 （1）画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关； （2）样本相关系数：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；｜r｜越接近于1，相关性越强； （3）经验回归方程：当＞0时，正相关；当＜0时，负相关. 【变式1-1】对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是 （　　） A.r2＜r4＜0＜r3＜r1 B.r4＜r2＜0＜r1＜r3 C.r4＜r2＜0＜r3＜r1 D.r2＜r4＜0＜r1＜r3 【答案】A　 【解析】由散点图知图（1）与图（3）是正相关，故r1＞0，r3＞0，图（2）与图（4）是负相关，故r2＜0，r4＜0，且图（1）与图（2）的样本点集中在一条直线附近，因此r2＜r4＜0＜r3＜r1. 【变式1-2】对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图如图①，对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图如图②.由这两个散点图可以判断 （　　） A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关 【答案】C　 【解析】由题图可得两组数据均线性相关，且图①的经验回归直线的斜率为负，图②的经验回归直线的斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关. 【变式1-3】(多选)下列有关经验回归分析的说法中正确的有(　　) A．经验回归直线必过点(，) B．经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 C．当样本相关系数r>0时，两个变量正相关 D．如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0 【答案】ACD 【解析】对于A，经验回归直线必过点(，)，故A正确； 对于B，经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B不正确； 对于C，当样本相关系数r>0时，则两个变量正相关，故C正确； 对于D，如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0，故D正确． 【变式1-4】