3.5 函数的实际应用-广西中职生对口升学考试数学复习教材

3. 5　 函数的实际应用 建立函数模型解应用题的步骤如下: (1) 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2) 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3) 求解:求解数学模型,得出数学结论; (4) 还原:用数学方法将得到的结论还原到实际问题中. 以上过程用图形表示如下: 题型一:二次函数模型的实际应用 　 用一根长为 l 的铁丝制作一个如图所示的框架,上半部分为半圆形,下半部分为矩形,若 AB = 2x,此框架的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式,并求出其定义域. 【解析】 　 由题意得 2x + 2 | AD | + πx = l,解得 | AD | = l 2 - π 2 x - x, 所以此框架的面积 y = 1 2 πx2 + l 2 - π 2 x - x( )·2x = - 2 + π2( ) x 2 + lx. 因为 l 2 - π 2 x - x > 0,x > 0, 所以 0 < x < l 2 + π . 所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y = - 2 + π 2( ) x 2 + lx,定义域为 0, l 2 + π( ) . 85 　 某人用 100 万元进行投资,有两种投资方式,一种是投资某科技公司,其收益 f(x) 与投入的资 金 x(单位:万元) 之间的函数关系式为 f(x)= a 2 x(a为常数),另一种是投资某生态环保公司,其收益 g(x) 与 投入的资金 x(单位:万元) 的算术平方根成正比. 且各投资 1 万元时,投资科技公司和生态环保公司的收益 分别为 0. 18 万元和 0. 36 万元. (1) 分别求 f(x),g(x) 与投资金额 x 的函数关系式; (2) 如何安排这 100 万元资金,才能使得总收益最大,最大收益是多少? 【解析】 　 (1) 由题意知 f(1) = a 2 = 0. 18, 所以 f(x) = 0. 18x(0 < x ≤ 100) . 设 g(x) = m x (m ≠ 0,m 为常数), 则 g(1) = m = 0. 36, 所以 g(x) = 0. 36 x (0 < x ≤ 100) . (2) 设投资生态环保公司的资金为 l 万元,则投资科技公司的资金为(100 - l) 万元,总收益为 y(单位: 万元) . 由题意得 y = 0. 18 × (100 - l) + 0. 36 l (0 < l ≤ 100) . 令 l = t,则 t ∈ (0,10],y = 18 - 0. 18t2 + 0. 36t = - 0. 18( t - 1) 2 + 18. 18. 当 t = 1,即 l = 1 时,总收益 y 取得最大值,最大收益为 18. 18 万元,此时投资生态环保公司 1 万元,投资 科技公司 99 万元. 　 如图所示,用一根长度为 18 米的原材料制作一个矩形窗户边框(即矩形 ABFE 和矩形 DCFE, 窗户边框粗细忽略不计),原材料刚好全部用完. 设窗户边框 AB 的长度为 x 米,窗户的总面积为 S 平方米. (1) 求 S 与 x 之间的函数关系式; (2) 若窗户边框 AB 的长度不小于 2 米,且小于 BC 的长度,求 S 的最大值和最小值. 【解析】 　 (1) 由题意可得 S = x·18 - 3x 2 = - 3 2 x2 + 9x(0 < x < 6), 即 S 与 x 之间的函数关系式是 S = - 3 2 x2 + 9x(0 < x < 6) . (2) 由题意可得 2 ≤ x < 18 - 3x 2 ,解得 2 ≤ x < 3. 6. ∵ S = - 3 2 x2 + 9x = - 3 2 (x - 3) 2 + 13. 5,2 ≤ x < 3. 6, ∴ 当 x = 3 时,S 取得最大值,最大值为 13. 5,当 x = 2 时,S 取得最小值,最小值为 12, ∴ S 的最大值是 13. 5,最小值是 12. 题型二:分段函数模型的实际应用 　 某公司共有 60 位员工,为提高员工的业务技术水平,公司拟聘请专业培训机构对公司员工进 行培训. 培训的总费用由两部分组成:一部分是给每位参加培训员工支付的 400 元培训材料费;另一部分是 95 给培训机构缴纳的培训费. 若参加培训的员工人数不超过 30,则每人收取培训费 1 000 元;若参加培训的员 工人数超过 30,则每超过 1 人,人均培训费减少 20 元. 设该公司参加培训的员工人数为 x,此次培训的总费用 为 y 元. (1) 求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2) 试预算该公司此次培训的总费用最多需要多少元. 【解析】 　 (1) 当 0 ≤ x ≤