2.2 一元二次不等式及分式不等式-广西中职生对口升学考试数学复习教材

2. 2　 一元二次不等式及分式不等式 1.一元二次不等式 (1) 一元二次不等式的概念 含有一个未知数,并且未知数的最高次数为二次的不等式叫做一元二次不等式. (2) 一元二次不等式的一般形式 一元二次不等式的一般形式为 ax2 + bx + c > 0(≥ 0) 或 ax2 + bx + c < 0(≤ 0),其中 a ≠ 0. (3) 一元二次不等式的解法 ① 一元二次不等式与相应方程及函数间的关系 当 a > 0 时,一元二次不等式对应一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 判别式 Δ 的不同情况,二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置关系有以下三种. 故可得到当 a > 0 时,一元二次不等式在各种情况下的解集如下表所示: 方程或不等式 解集 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 ax2 + bx + c = 0 {x1 ,x2 } {x0 } ⌀ ax2 + bx + c > 0 ( - ∞ ,x1 ) ∪ (x2 , + ∞ ) ( - ∞ ,x0 ) ∪ (x0 , + ∞ ) R ax2 + bx + c ≥ 0 ( - ∞ ,x1 ] ∪ [x2 , + ∞ ) R R ax2 + bx + c < 0 (x1 ,x2 ) ⌀ ⌀ ax2 + bx + c ≤ 0 [x1 ,x2 ] {x0 } ⌀ 42 　 　 ② 一元二次不等式的解法 由一元二次不等式与相应方程、函数间的关系知,解一元二次不等式的基本步骤如下: (ⅰ) 判断二次项系数是否为正数,如果不是正数,将不等式两边同乘以 - 1; (ⅱ) 判断对应方程解的情况,如果有解,求出方程的解; (ⅲ) 根据上表写出一元二次不等式的解集. 2.分式不等式 (1) 分式不等式的定义 分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式. (2) 分式不等式的一般形式 ax + b cx + d > 0(cx + d ≠ 0) . (3) 分式不等式的解法 ① ax + b cx + d > 0⇔(ax + b)(cx + d) > 0; ② ax + b cx + d ≥ 0⇔ (ax + b)(cx + d) ≥ 0, cx + d ≠ 0;{ ③ ax + b cx + d < 0⇔(ax + b)(cx + d) < 0; ④ ax + b cx + d ≤ 0⇔ (ax + b)(cx + d) ≤ 0, cx + d ≠ 0.{ 题型一:一元二次不等式的解法 　 求下列不等式的解集: (1)(x + 4)( - x - 1) < 0; (2) - 3x2 + x > 2; (3)4x2 - 4x + 1 > 0; (4) - x2 + 5x + 6 ≥ 0. 【解析】 　 (1) 不等式(x + 4)( - x - 1) < 0 可化为(x + 4)(x + 1) > 0, 解得 x > - 1 或 x < - 4, ∴ 原不等式的解集为( - ∞ , - 4) ∪ ( - 1, + ∞ ) . (2) 不等式 - 3x2 + x > 2 可化为 3x2 - x + 2 < 0. ∵ Δ = 1 - 4 × 3 × 2 < 0, ∴ 原不等式的解集为 ⌀. (3) 不等式 4x2 - 4x + 1 > 0 可化为(2x - 1) 2 > 0, 解得 x ≠ 1 2 , ∴ 原不等式的解集为( - ∞ , 1 2 ) ∪ ( 1 2 , + ∞ ) . (4) 不等式 - x2 + 5x + 6 ≥ 0 可化为 x2 - 5x - 6 ≤ 0,即(x - 6)(x + 1) ≤ 0, 解得 - 1 ≤ x ≤ 6, ∴ 原不等式的解集为[ - 1,6] . 52 　 解不等式 - 3 < 4x - 4x2 ≤ 0. 【解析】 　 原不等式等价于 4x - 4x2 ≤ 0, 4x - 4x2 > - 3,{ 即 x ≥ 1 或 x ≤ 0, - 1 2 < x < 3 2 , ì î í ïï ï ∴ - 1 2 < x ≤ 0 或 1 ≤ x < 3 2 , ∴ 原不等式的解集为 - 1 2 ,0( ù û úú ∪ 1, 3 2 é ë êê ) . 题型二:分式不等式的解法 　 不等式x - 1 x - 3 ≤ 0 的解集是 (　 　 ) A. ( - ∞ , - 1) ∪ [3, + ∞ ) B. ( - ∞ ,1] ∪ (3, + ∞ ) C. [1,3) D. [1,3] 【解析】 　 由x - 1 x - 3 ≤ 0 可得 (x - 1)(x - 3) ≤ 0, x - 3 ≠ 0,{ 解得 1 ≤ x < 3. 故原不等式的解集为[1,3) . 【答案】 　 C 题型三:一元二次不等式及分式不等式的应用 　 已知全