1.4 充要条件-广西中职生对口升学考试数学复习教材

1. 4　 充 要 条 件 1.命题 概念 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题. 判断为真的语句叫做真 命题,判断为假的语句叫做假命题 特点 (1) 能判断真假;(2) 陈述句 分类 真命题、假命题 2.充分条件与必要条件 “ 如果 p,则 q” 是真命题时,我们就说由 p可推出 q,称 p是 q的充分条件,或 q是 p的必要条件,记作 p⇒q. 3.充要条件 如果 p 是 q 的充分条件(p⇒q),p 又是 q 的必要条件(q⇒p),则称 p 是 q 的充分且必要条件,简称充要条 件,记作 p⇔q. 也常说 p 与 q 等价. 显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的充要条件. 4.既不充分也不必要条件 如果 p 不是 q 的充分条件(p⇒/ q),p 也不是 q 的必要条件(q⇒/ p),则称 p 为 q 的既不充分也不必要条件. 题型:充分条件、必要条件、充要条件的判定 　 用“充分条件”“必要条件” 或“充要条件” 填空. (1)“x 是实数” 是“x 是有理数” 的 ; (2)“x > 3” 是“x > 5” 的 ; (3)“x 是正方形” 是“x 是矩形” 的 ; (4)“A ⊆ B” 是“A ∩ B = A” 的 . 31 【解析】 　 (1)∵ x 是有理数必然也是实数,但 x 是实数不一定是有理数, ∴ “x 是实数” 是“x 是有理数” 的必要条件. (2)∵ x > 3 不一定有 x > 5,如 4 > 3,4 < 5,而 x > 5 必有 x > 3, ∴ “x > 3” 是“x > 5” 的必要条件. (3)∵ 正方形一定是矩形,矩形不一定是正方形, ∴ “x 是正方形” 是“x 是矩形” 的充分条件. (4)∵ A ⊆ B⇔A ∩ B = A, ∴ “A ⊆ B” 是“A ∩ B = A” 的充要条件. 【答案】 　 (1) 必要条件 　 (2) 必要条件 　 (3) 充分条件 　 (4) 充要条件 　 已知 p 是 q 的充分条件,s 是 r 的必要条件,p 是 s 的充要条件,求 q 与 r 的关系. 【解析】 　 根据已知,得 p⇒q,r⇒s,p⇔s, ∴ r⇒s⇔p⇒q, ∴ r⇒q, ∴ r 是 q 的充分条件,q 是 r 的必要条件. 　 在 △ABC 中,p:△ABC 是锐角三角形,q:sin A > cos C,则 p 是 q 的 (　 　 ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 　 由 △ABC 是锐角三角形,可得π 2 > A > π 2 - C > 0, ∴ sin A > cos C,反之不成立,如 C 为钝角, ∴ p 是 q 的充分不必要条件. 【答案】 　 B 　 “x2 - 4x - 5 < 0” 是“ | x + 3 | ≥ 2” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 　 ∵ x2 - 4x - 5 < 0 的解集为 A = {x | - 1 < x < 5}, | x + 3 | ≥ 2 的解集为 B = {x | x ≤- 5 或 x ≥- 1}, ∴ A ⫋ B, ∴ “x2 - 4x - 5 < 0” 是“ | x + 3 | ≥ 2” 的充分不必要条件. 【答案】 　 A 　 “方程 x2 - 2x - a = 0 没有实数根” 的充要条件是 . 【解析】 　 因为方程 x2 - 2x - a = 0 没有实数根, 所以 Δ = 4 + 4a < 0,解得 a < - 1, 因此“方程 x2 - 2x - a = 0 没有实数根” 的必要条件是 a < - 1. 反之,若 a < - 1,则 Δ < 0,方程 x2 - 2x - a = 0 无实根,从而充分性成立. 故“方程 x2 - 2x - a = 0 没有实数根” 的充要条件是“a < - 1” . 【答案】 　 a < - 1 　 已知 p:“实数 x 满足不等式 x2 - 15x + 54 < 0”;q:“实数 x 满足不等式 x2 - 3kx + 2k2 ≤ 0,其 中实数k > 0” . 若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 k 的取值范围. 41 【解析】 　 因为 x2 - 15x + 54 < 0, 所以(x - 6)(x - 9) < 0,解得 6 < x < 9. x2 - 3kx + 2k2 ≤ 0 可化为(x - k)(x - 2k) ≤ 0. 因为 k > 0, 所以 k ≤ x ≤ 2k. 设 A = {x | 6 < x < 9},B = {x | k ≤