专题31 双曲线（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（考点讲与练）

考点31 双曲线 一、考点要求 考试内容 考试要求 1.双曲线的定义 2双曲线标准方程、焦点、焦距 3.双曲线离心率 4.双曲线渐近线方程 5.双曲线几何性质 6.直线与双曲线的位置关系 掌握 掌握 掌握 掌握 掌握 掌握 二、考点梳理 1．双曲线的定义 平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2． 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 通径 过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3.基础三角形 如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝ b ，|OB|＝c，tan∠AOB＝， △OF2D中，|F2D|＝ b . 4、等轴双曲线 等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为. 三、考点分类剖析 考点一、双曲线的定义 【例1】动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　)． A． 双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 【变式练习1】．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹分别是(　　)． A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 【变式练习2】双曲线 ​的左、右焦点分别为​点​位于其左支上，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【变式练习3】双曲线上的点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（    ） A． B．10 C．或10 D． 【总结】：根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线的定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线． 考点二、双曲线标准方程 【例2】已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】若双曲线以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点， 则双曲线的标准方程为__________． 【变式练习2】求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和； (2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)． 【变式练习3】．过点(1,1)且＝的双曲线的标准方程是(　　)． A． －y2＝1 B．－x2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1或－x2＝1 【总结】 1．双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”，是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2的值，最后写出双曲线的标准方程． 2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)． 3．与双曲线－＝1共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜λ＜a2)． 考点三、双曲线离心率 【例3】设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知双曲线的离心率是2，则（    ） A．12 B． C． D． 【变式练习2】．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 【总结】 (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，如果含有b，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求离心率． (2)双曲线的离心率是双曲线