精品解析：安徽省合肥市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

合肥一中2022——2023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷 时长：120分钟分值：150分 命题人审题人：张慧、刘昱 一、单项选择题（共8小题，每题5分，满分40分）． 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 2. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 3. 某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 中，三个内角A，B，C对边分别为a，b，c．已知，，，则B的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 设点P内一点，且，则（ ） A B. C. D. 6. 如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方．设，（），记，，分别考查的所有运算结果，则 A. 有最小值，有最大值 B. 有最大值，有最小值 C 有最大值，有最大值 D. 有最小值，有最小值 二、多项选择题：（共4小题，每题5分，满分20分.每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题错选0分，漏选2分） 9. 下列关于复数四个命题，其中为真命题的是（ ） A. z的虚部为1 B. C. z的共轭复数为 D. 10. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积为 B. 该外接圆的半径为 C. D. 过作交于点，则 三、填空题（共4小题，每题5分，满分20分） 13. 已知向量，，若，则________． 14. 若复数所对应复平面内的点在第二象限，则实数的取值范围为________； 15. 已知，是边AB上一定点，满足，且对于AB上任一点P，恒有．若，，则的面积为________． 16. 我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k．已知线段AB长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以1为半径的圆绕l旋转一周，得到环体；以A，B分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N；过AB且与l垂直的平面为，平面，且距离为h，若平面截圆柱体N所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，我们可以求出的比值，进而求出环体体积为________． 四、解答题（共6小题，其中第17题10分，其余各题12分，满分70分） 17. 如图所示，在中D、F分别是BC、AC的中点，，，． （1）用，表示向量，； （2）求证：B，E，F三点共线． 18. 在中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且． （1）求C； （2）若，求A． 19. 如图，数轴的交点为，夹角为，与轴､轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）. （1）若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标； （2）若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值. 20. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是的中点． （1）求证：； （2）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由． 21. 合肥一中云上农舍有三处苗圃，分别位于图中的三个顶点，已知,．为了解决三个苗圃的灌溉问题，现要在区域内（不包括边界）且与B,C等距的一点O处建立一个蓄水池，并铺设管道OA、OB、OC． （1）设，记铺设的管道总长度为，请将y表示为的函数； （2）当管道