10.2- 10.3 事件的独立性、 频率与概率-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

10.2 事件的独立性 10.3 频率与概率 1 事件的相互独立性 ① 独立事件 对任意两个事件与，如果成立，则我们称事件与事件相互独立，简称独立. ② 个事件独立 个事件两两独立时，等式成立. 解释 (1)实例 【例1】掷两个骰子，事件“第一个骰子点数为”，事件“第一个骰子点数为”，事件发生与否不影响事件发生的概率，其中，，，成立，它们是独立事件. 【例2】 在一个袋子中有个红球和个黑球，采用有放回方式从袋中依次摸两个球，设“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，显然由于是有放回的摸球，不管第一次摸到什么球，都有，而，，则成立，故事件和事件相互独立.若是采用不放回方式，所以若第一次摸到红球，则，若第一次摸到黑球，则，则事件和事件不相互独立. (2) 由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立； (3) 在解决实际问题时，我们通常是直观判断事件的独立性，然后利用来求积事件的概率； (4) 独立事件与互斥事件的区别 ① 对于非不可能事件、，互斥不独立，独立不互斥； 证明 若非不可能事件、互斥，则，而，因此，即、不独立； 若、独立，则有，假设、互斥，则，而， 则，产生矛盾，因此、不独立. ② 【例1】掷一个骰子，事件“点数是奇数”，事件“点数是”，则他们是互斥事件，不是独立事件. 【例2】掷一个骰子，事件“点数是奇数”，事件“点数是大于”，则他们既不是互斥事件，也不是独立事件. 【例3】依次掷两个骰子，事件“第一次点数是”，事件“第二次点数是”，则他们是独立事件，不是互斥事件. ③ 事件的独立性还需要从条件概率的角度去作解释，而条件概率我们会在选择性必修第三册学习. 2 频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离的概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率. 案例 我扔骰子前次都是，那第次投出骰子是的可能性有多大呢？理性分析，应该是，因为第次投骰子的概率与前三次无关；那假如我扔骰子前次都是，那第次是的可能性又有多大呢？此时，频率的稳定性会告诉你第次是的可能性很大，只能说明骰子是有问题的，这数学不就告诉你赌博十赌九输的原因了么！ 案例 估值值.(可百度下“用概率计算圆周率”) (2)随机模拟 蒙特卡洛方法：利用随机模拟解决问题的方法. 【题型1】 独立事件的概念 【典题1】 判断下列各对事件是否是相互独立事件: (1)甲组名男生，名女生；乙组名男生，名女生，现从甲、乙两组中各选名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出名男生”与“从乙组中选出名女生”； (2)容器内盛有个白乒乓球和个黄乒乓球，“从个球中任意取出个，取出的是白球”与“从剩下的个球中任意取出个，取出的还是白球”； (3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现点或点”． 【典题2】已知一个古典概型的样本空间和事件如图所示．其中，则事件与事件 (　　) A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 【巩固练习】 1.对于事件，下列命题错误的是　　 A．如果互斥，那么也互斥 B．如果对立，那么也对立 C．如果独立，那么也独立 D．如果不独立，那么也不独立 2.(多选)已知是随机事件，则下列结论正确的是(　　) A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则 C．假如，若事件相互独立，则不互斥 D．假如，若事件互斥，则相互独立 3.(多选)一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间，设事件，事件，事件，则(　　) A．不是互斥事件 B．是对立事件 C．是独立事件 D．是独立事件 4.一个袋子中有个小球，其中个白球，个红球，讨论下列事件的相互独立性与互斥性． (1)取一个球为红球，取出的红球放回后，再从中取一球为白球； (2)从袋中取个球，取出的两球为一白球一红球；取出的两球中至少一个白球． 【题型2】 求概率 【典题1】已知一个古典概型的样本空间和独立事件，其中 ，那么下列事件概率错误的是(　　) A． B． C． D． 【典题2】根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为，购买乙种保险的概率为，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立． (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率； (3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中种的概率． 【巩固练习】 1.已知事件，且，则错误的是(　　) A．如果，那么 B．如果互斥，那么 C．如果相互独立，那么 D．如果相互独立，那么 2.抛掷两枚硬币，若记出现“两个