专题30 椭圆（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（考点讲与练）

考点30 椭圆 一、考点要求 考试内容 考试要求 1.椭圆的定义 2.椭圆长轴与短轴以及焦点坐标和焦距 3.椭圆的几何性质 4.椭圆离心率 5.直线与椭圆的位置关系 掌握 掌握 掌握 掌握 掌握 二、考点梳理 1． 椭圆的概念 在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a<c，则集合P为空集． 2． 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 疑难解释 1． 椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系： 给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m>n>0，椭圆的焦点在y轴上⇔0<m<n. 2． 求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e (0<e<1)． 3． 求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴． 三、考点分类剖析 考点一、求椭圆的标准方程 【例1】（1）已知椭圆的焦点为，，点是椭圆上的一个点，求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程． 【变式练习1】(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方程为____________； (2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________． 【变式练习2】以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式． 考点二、求椭圆离心率 【例2】椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知椭圆的焦距大于2，则其离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点三、椭圆的焦点、长轴与短轴和焦距 【例3】已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式练习1】如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．且 【变式练习2】如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】椭圆和（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同 【变式练习4】关于椭圆C：，有下面四个命题： 甲：长轴长为4； 乙：短轴长为2； 丙：离心率为； 丁：． 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考点四、椭圆的几何性质 【例4】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． 【注意】　 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系． (2)对△F1PF2的处理方法 ⇔ 【变式练习1】已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（    ） A．20 B．36 C．64 D．100 【变式练习2】已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上一点（顶点除外），则的周长为（    ） A． B．6 C． D．3 考点五、直线与椭圆的位置关系 【例3】设椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右