5.2.1 基本初等函数的导数（2）课时教学设计（李根）-高中数学新教材选择性必修第二册小单元教学+专家指导（视频+教案）

教学目标 教学目标： 会使用基本初等函数的导数公式求函数的导数，能利用导数解决实际问题. 教学重点：求基本初等函数的导数. 教学难点：基本初等函数的导数公式的应用. 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 问题1上节课我们根据导数的定义求出了六个常用函数的导数，同学们还记得它们的导数是什么吗？ 函数 导函数 追问1：在上述6个函数中，除第1个外，其余5个都是哪一类基本初等函数？ 生：它们是幂函数. 追问2：你能发现它们的导数与函数之间的关系吗？ 生：若则 问题2 还有哪些基本初等函数？它们的导数是什么？ 生：指数函数、对数函数、三角函数. 它们的导数也可以根据定义计算求得. 师：实际上，对于其它的基本初等函数，我们确实可以根据导数的定义求其导数的，但是由于我们目前的知识结构还不够完善，求导数的计算过程还有些困难，因此这些函数的导数我们直接给出，今后可以直接使用. 基本初等函数的导数公式 1. 若则 2. 若则 3. 若则 4. 若则 5. 若则 特别地，若则 6. 若则 特别地，若则 追问：这些公式有什么特点？ 常值函数的导数是0. 幂函数的导数是将原来幂函数的幂指数提到前面作为幂的系数，再将原来的幂指数减1作为新的幂指数. 正弦函数的导数是余弦函数. 余弦函数的导数是负的正弦函数. 以e为底的指数函数的导数是它本身. 以任意大于0且不等于1的常数a为底的指数函数的导数是它本身乘以底的自然对数. 自然对数的导数是. 以任意大于0且不等于1的常数a为底的对数函数的导数是乘以. 例1 求下列函数的导数： （1） ； （2）. 分析：分辨函数的类型，直接应用相应的导数公式求导数. 解：（1） （2） 例2 求正弦函数在点(0,0)处的切线方程. 分析：依题意，点(0,0)是切点，则已知切线上的一点(0,0)，只需要再求出切线的斜率即可写出切线方程. 而切线的斜率等于x = 0处的导数值，有了基本初等函数的导数公式，我们就可以不再用定义法求导数，而直接用导数公式求导数即可. 然后代入直线的点斜式方程求切线方程即可. 解：因为，所以. 所以. 所以切线方程是，即. 例3 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)之间的关系为 ， 其中为t = 0时的物价. 假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)？ 分析：由函数的解析式可以看出，这是一个指数型函数，底是1.05，因此p(t)是一个增函数，所以价格随着时间的增长而上涨. 所以价格上涨的速度就是这个函数的导数值. 因此，本题需要先求出p(t)的导函数，再求出t =10时的导数值. 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 所以 所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨. 问题3 如果某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？ 生：求的导数，再代入t=10，求出导函数值即为价格上涨的速度. 追问：函数的导数怎么求？ 师：利用基本初等函数的导数公式，和的导数可以直接求得，而的导数已经不能直接用基本初等函数的导数公式解答. 那么函数p(t)的导数怎么求？可否用f(t)和g(t)的导数来表示它们乘积的导数？这将是下一节课我们要讨论的主要问题. 例题小结： （1）通过这三个例题，我们熟悉了运用基本初等函数导数公式求导数，求曲线的切线方程的方法，并通过关于指数函数求导的实际问题，体会了导数的实际应用. （2）在例2和例3的求解过程中，我们注意到根据基本初等函数的导数公式，可以直接求出函数的导函数，再代入具体数值求出在某点处的导数值，而不再需要用导数的定义求某点处的导数值. 大大简化了计算量. （3）在例题3的追问中，函数的导数不能根据基本初等函数的导数公式求得. 因此，我们提出了一个新问题：函数的导数与函数的导数有什么关系？ 课堂小结： 问题4 本节课主要学习了哪些知识内容？ 本节课我们主要学习了基本初等函数的导数，主要包括指数函数、对数函数、幂函数和正弦函数余弦函数的导数公式，还直接给出了两个常用的指数函数和对数函数的导数公式，这些公式都可以在我们今后的学习中直接使用而不加证明，大大简化了求导的步骤，因此这些导数公式是需要我们记忆掌握的. 问题5 本节课的地位和作用？ 在学习了本节课以后，我们还会想到这样一个问题：还有很多复杂函数怎样求导数？它们的导数有公式吗？ 显然，我们不能给每个函数一个导数公式，但是，我们知道复杂函数都是由以上的基本初等函数经过加、减、乘、除以及复合运算得到的，那么它们的导数与我们刚刚学过的基本初等函数的导数之间有什么