5.1.1 变化率问题（1）课时教学设计（胡丽斌）-高中数学新教材选择性必修第二册小单元教学+专家指导（视频+教案）

新教材数学研修班训练营 专家引领 • 名校参与 • 名师共创 5.1.1 变化率问题（1） （一）教学内容 通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会求瞬时速度的一般方法. （二）教学目标 通过实例分析，理解平均速度与瞬时速度的概念及关系，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，不断渗透"用运动变化的观点研究问题""逼近（极限）"等微积分的重要思想。引导学生发现求瞬时速度的一般方法，发展学生的数学抽象核心素养. （三）教学重点及难点 1.重点 理解平均速度、瞬时速度的概念及算法. 2.难点 平均速度与瞬时速度. （四）教学过程 问题1：学生阅读教材本章引言，简要回答本章的内容。 师生活动： （1）学生阅读课本，教师适时引导． （2）在教师的引导下，学生应明确以下内容：一是微积分是数学家的创造。二是微积分的创立主要源自四个科学问题；三是导数是微积分的主要内容；四是导数主要是在定量的刻画函数局部的变化。 同时，学生还要注意在本章的学习过程中，还会接触到一个重要的数学思想和数学运算——极限。 设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．为发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养埋下伏笔． 问题2：请同学们回忆一下初中及高一学习过的函数的单调性的相关知识？ 师生活动： （1） 大部分的学生应该都能够说出一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性。 （2） 一部分学生能指出底数对指数函数、对数函数单调性的影响，需要类讨论。教师应适时指出这种影响在一次函数、二次函数、反例函数中也是存在的。同学们却有意无意只是在指数函数、对数函数中才意识到这个问题的存在。 （3） 少数学生还能够强调指出反比例函数、正切函数的分段单调性。 （4） 教师要密切关注，争取能在学生发现以下反馈：在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多． （5） 追问：在前面这些学习的基础上，能否进一步精确定量的刻画变化速度的快慢呢？ 设计意图：通过对函数学习的回顾，帮助学生发现和感受不同函数变化快慢的问题，同时引入新课． 问题3：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.现在的问题是：如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 师生活动： （1）学生可能会从多个角度回答。有些会用起跳速度描述，有些可能会会用入水速度描述，有些会用平均速度描述，也肯定会有用瞬时速度来描述的。 （2）教师要充分肯定用瞬时速度描述运动快慢的想法，并告诉学生们稍后会讨论。然后将注意力引导到用平均速度描述上。给出如下追问： （3）教师指出：跳水过程中，有一段时间向上运动，一段时间向下运动，这时一平均，速度为0了，这与运动员事实上在运动相悖。这个矛盾怎么处理？从面引导学生得出经下结论：用平均速度描述运动忆慢时，所用时间段要比较小。 （4）请师生共同完成以下例题。 【例1】在用平均速度描述上述运动员的运动快慢时，可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似的描述它的运动状态． （1）求在这段时间里的平均速度； （2）求在这段时间里的平均速度； 【解析】（1）在这段时间里，； （2）在这段时间里，. （5）教师引导学生进一步讨论：一般地，在这段时间里的平均速度为 . （6）追问：计算运动员在这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ （7）师生共同给出结论，运动员在这段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 设计意图：通过物体运动问题，抽象出函数平均变化率、平均速度的概念． 问题4：为了精确刻画运动员的运动状态，平均速度稍显粗糙，需要引入其他指标.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.那么瞬时速度与平均速度有什么关系？ 师生活动： （1）学生分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师总结、讲解 （2）师生共同总结：设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 设计意图：通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出平均速度与瞬时速度的概念． 问题5：利用平均速度与瞬时速度的关系求上述运动员在t=1s时的瞬时速度吗？ 师生活动： （1）学生分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师总结、讲解 （2）教师用课件展示：为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取