14 球的切、接问题 同步复习讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 14 球的切、接问题 类型一 正方体模型（墙角特征的三棱锥）、长方体模型（对棱相等的三棱锥） （1）墙角特征的三棱锥 （适用条件：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合） 方法：补成长方体模型，直接用公式，即，求出． 1．已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于　　． 2．在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则 正三棱锥外接球的表面积是 . （2）对棱相等的三棱锥 方法：①补成长方体模型，直接用公式， 即，求出． ②. 3．四面体中，，，若四面体的顶点都在球的球面上，则球的体积是　　 A． B． C． D． 4．棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三 角形(正四面体的截面)的面积是 . 类型二 柱、锥模型 （1）圆柱特征（适用条件：圆柱、直棱柱、一条棱垂直一个面的棱锥） 公式： 其中为圆柱的高，为圆柱的底面半径． 直棱柱、一条棱垂直一个面的棱锥先补形成圆柱，三角形外接圆半径可用正弦定理求解. （2）圆锥特征（适用条件：圆锥、各侧棱相等的棱锥） 公式： 其中为圆锥的高，为圆锥的底面半径，为圆锥母线长． 各侧棱相等的棱锥补形成圆锥，三角形外接圆半径可用正弦定理求解． 5．在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（ ） 6．在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接 球的体积为（ ） A． B． C． D． 7．已知球是三棱锥的外接球，，，点为的中点，且，则球的体积为　　． 8．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为　　 A． B． C． D． 9．在中，，，，为外一点，满足，则三棱锥的外接球的半径为　　． 类型三 二面角模型（适用条件：任意三棱锥、两个面夹角已知或可求） 公式： 其中：分别为两个平面外接圆圆心到交线的距离， 为两个面交线长，为两个平面所成的二面角． 推导：设分别为两个平面（）外接圆的半径，则 可知四点共圆（设半径为），则，在中，由余弦定理可得 ，从而 特别地：面面时，此时,(直二面角模型) 10．在直角梯形中，，，，，沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为 11．已知空间四边形中，，，，若二面角的大小是 ，则该几何体的外接球表面积是 　　． 12．在四面体中，，二面角的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 13．在四面体中，，，，，二面角的平面角的大小为，则此四面体的外接球的体积为 14．在边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则此四面体的外接球表面积为 类型四 最值模型 15．（1）已知三棱锥P－ABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________． （2）在四面体ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝，AC＝，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________． （3）已知四棱锥S－ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋16，则球O的体积等于______． （4）三棱锥A－BCD内接于半径为的球O中，AB＝CD＝4，则三棱锥A－BCD的体积的最大值为________． 类型五 内切球的半径---等体积法 秒杀公式： 16．（1）正四面体的外接球与内切球的表面积比为（ ） A． B． C． D．不确定 （2）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球， 则其外接球与内切球表面积之比为（ ） 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 14 球的切、接问题 类型一 正方体模型（墙角特征的三棱锥）、长方体模型（对棱相等的三棱锥） （1）墙角特征的三棱锥 （适用条件：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合） 方法：补成长方体模型，直接用公式，即，求出． 1．已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于　　． 【解答】解：球的体积为，得球半径为， ，，补成长方体，设长方体高为 由，得