20.1 数据的集中趋势-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（人教版）

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 20.1数据的集中趋势 1. 了解加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想． 2. 了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征． 知识点01：算术平均数和加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 要点诠释：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 要点诠释：（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 知识点02：中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 知识点03：平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 精讲精练 【典例分析01】（2023春•鹿城区校级期中）数据1，2，3，4，……，19，20的平均数为a，则数据4，7，10，13，……，58，61的平均数为（　　） A．a B．3a C．9a D．3a+1 【思路引导】根据算术平均数的概念求解可得． 【规范解答】解：∵4＝3×1+1，7＝3×2+1，10＝3×3+1，••••••，58＝19×3+1，61＝20×3+1， 又∵数据1，2，3，4，……，19，20的平均数为a， ∴数据4，7，10，13，……，58，61的平均数为3a+1． 故选：D． 【考点剖析】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义． 【变式训练01】（2023春•临平区期中）已知一组数据，前8个数据的平均数是x，还有两个数据的分别为84，84，则这组数据的平均数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练02】（2023春•萧山区期中）已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是3，则数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3的平均数是 　 　． 【变式训练03】（2022春•鼓楼区校级期中）某经商采购了批水果，根据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐（每筐1kg）得分数据如下 17，23，31，31，36，45，45，50，48，48，61，65，65，68，72，81，82，82，85，95． 根据以往的大数据认定得分数据对应等级如表； 得分数据x 0＜x≤25 25＜x≤50 50＜x≤75 75＜x≤100 等级 四级 三级 二级 一级 （1）试求这20筐水果得分的平均数． （2）用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售： 方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售； 方案2：分等级出售． 等级 四级 三级 二级 一级 售价（万元/吨） 1.2 1.5 1.8 2 请从经销商的角度，根据售价分析采用哪种销售方案较好，并说明理由． 【典例分析02】9．（2023•南沙区一模）某同学参加学校艺术节歌唱比赛，其中唱功、表情、动作三个方面的得分分别是90，85，90，综合成绩中唱功、表情、动作分别占60%，20%