5.1.2导数的概念及其几何意义课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

§2 导数的概念及其几何意义 随着17世纪天体物理学的迅速发展，迫切需要解决4个问题: ①求曲线的切线问题; ②求非匀速运动的瞬时速度. ③求函数的最大值和最小值; ④求曲线长、曲边梯形面积. 导数产生的背景： 导数是微积分的核心概念之一 为了解决这些科学问题，许多著名的科学家,如法国的费马、笛卡尔、柯西；德国的开普勒，英国的牛顿和德国莱布尼茨等人，都为微积分的创立做出了贡献。 牛 顿 从运动学角度研究微积分. 英国物理学家、数学家. 1643―1727 莱布尼茨 1646－1716 德国数学家. 从几何学角度研究微积分. 数形结合 ①平均变化率： 函数y=f(x)的定义域为D,x1,x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为: 复习引入 求平均变化率的步骤： (2)求平均变化率： (1)求函数的增量： 牛顿 例 一小球从高空自由下落，其走过的路程 与时 间t(单位:s)的关系为 其中， 为重力加速度 .试估计小球在t=5s这个时刻 的瞬时速度 复习引入 △t<0时, 在[ 5+△t, 5 ] 这段时间内的平均速度 △t>0时, 在[5, 5 +△t ] 这段时间内的平均速度 △t = – 0.01 △t = 0.01 △t = – 0.001 △t =0.001 △t = –0.0001 △t =0.0001 △t = – 0.00001 △t = 0.00001 △t = – 0.000001 △t =0.000001 …… …… △t = – 0.1 △t = 0.1 固定的值 新知学习： 一差、二商、三极限 9 例：一条水管中流过的水量y（单位： ）是时 。求函数 在x=2处的导数 ，并解释它的实际意义。 间x（单位：s）的函数 解：当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3（2+Δx），函数值y关于x的平均变化率为 （ 当x趋于2，即Δx趋于0时，平均变化率趋于3， 所以 （ /s）. 导数 表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为3 列举生活中的实例 β A B M Δ Δ O x y β M Δx Δy O x y C 探究新知 导数的几何意义 莱布尼茨 割线定义 曲线在某一点处的切线的定义 设曲线C是函数y=f(x)的图象， 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一 点Q(x0+△x,y0+△y) ,过P,Q两点作割 线， 当点Q沿着曲线无限接近于点P 点P处的切线。 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极 限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在 割线 切线 T o x y o x y 割线 切线 T 莱布尼茨 导数的几何意义 割线 切线 T o x y 莱布尼茨 牛顿 导数的几何意义 切线求法 16 课堂小结: 一个框图 2. 导数的几何意义 课堂小结: 二个定义 函数y=f(x)在点 处的导数就是函数在该点处切线的斜率. 布置作业 优化设计第14页 A组题(必做题) 第15页 B组题(选做题) 导数的概念 1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝ ＝ ，当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个 ，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数． eq \f(fx1－fx0,x1－x0) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) 2．记法：函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号 f′(x0)表示，记作f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do14(x1→x0)) ＝eq \o(lim,\s\do15(Δx→0)) . eq \f(fx1－fx0,x1－x0) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) 　由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法： ①求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； ②求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)； ③给平均变化率取极限