专题07 二项分布、超几何分布与正态分布（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

07 二项分布、超几何分布与正态分布 知识点1 伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 知识点2 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 知识点3 两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点4 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)， 用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r， 其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}， r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 知识点5 正态分布 1．定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数， 则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 2．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．当|x|无限增大时，曲线无限接近于x轴． (2)曲线与x轴之间的区域的面积为1． (3)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)曲线在x＝μ处达到峰值(最大值)． (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散． 3．3σ原则 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 4．正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 5．正态曲线的几何意义 随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a<X≤b)，即由正态曲线过点(a，0)和点(b，0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积． 如图所示，X取值不超过x 的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 考点1 二项分布 【例1】(2022·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上： (1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率； (2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值． 【解析】(1)依题意知，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同． 设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A， 则有P(A)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C2＋C3＝. (2)由(1)可知，X～B， 则P(X＝0)＝C3＝， P(X＝1)＝C··2＝， P(X＝2)＝C·2·＝， P(X＝3)＝C·3＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. 【总结】判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． 【变式1-1】出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； (2)求这位司机在途中遇到红灯数X的均值与方差． 【解析】(1)依题意，这位司机在第三个交通岗遇到红灯，在第一、二个交通岗未遇到红灯， 所以这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率P＝2×＝. (2)X的所有可能取值是0,1,2,3,4,5,6， 这位司机经过一个交通岗就是一次试验，有遇到红灯和未遇到红灯两个结果，X＝k(k∈N，k≤6)的事件相当于6次独立重复经过交通岗一次的试验，恰有k次遇到红灯的事件，于是得随机变量X～B， 所以E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝. 【变式1-2】某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意