第16讲 导数的单调性（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第16讲 导数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,函数f(x)的单调性与其导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: (1)在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,区间(a,b)为函数y=f(x)的单调递增区间; (2)在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,区间(a,b)为函数y=f(x)的单调递减区间. (3)在某个区间(a,b)上,如果f'(x)=0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上为常函数. 2.已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数在区间(a,b)上单调递增，可转化为在(a,b)上恒成立，且在(a,b)的任意子区间上不恒为0；也可转化为(a,b)⊆增区间． (2)函数在区间(a,b)上单调递减，可转化为在(a,b)上恒成立，且在(a,b)的任意子区间上不恒为0；也可转化为(a,b)⊆减区间． (2)函数的增区间是(a,b)，可转化为(a,b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集(a,b)； 函数的减区间是(a,b)，可转化为(a,b)＝减区间，也可转化为是的两根． 考点一 已知函数单调区间求参数范围 考点二 构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系 考点三 利用导数证明或求解函数单调区间（不含参） 考点四 分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参） 考点一：已知函数单调区间求参数范围 例1．若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围． 【详解】， 由于函数有三个单调区间， ∴有两个不相等的实数根，∴． 故选：C． 例2．函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得在区间上恒成立，解出即可. 【详解】， 函数在区间上单调递减， ∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 而 在区间上单调递减，，∴k的取值范围是 ， 故选：B． 考点二：构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系 例3．（2023·全国·高三专题练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，利用导数可知函数在单调递减，又，，，根据单调性即可得到结果. 【详解】设，则， 令，则， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 又，，， 所以，即. 故选：D. 例4．已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，，令，利用导函数可得，再令，利用导函数求单调性即可求解. 【详解】由题意可得，，， 令，则， 因为当时，单调递增， 所以，即， 令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为且， 所以， 故选：A 考点三：利用导数证明或求解函数单调区间（不含参） 例5．函数的单调减区间是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】由函数的导数小于零，解不等式即可求解. 【详解】， ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：D 例6．函数的单调递减区间是_______________. 【答案】 【分析】求导函数并由求自变量范围，即可得单调递减区间. 【详解】由题设，令，解得， 因此，函数的单调递减区间是. 故答案为： 考点四：分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参） 例7．求函数的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】利用导函数与函数单调性的关系求解. 【详解】的定义域是． ， 当时，令，解得或； 令，解得或； 当时，恒成立． 所以当时，的单调递增区间为和； 单调递减区间为和． 当时，的单调递增区间为和． 例8．已知函数.讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的定义域，再求出导函数，对参数分类讨论即得. 【详解】由题可得的定义域为，且， 当时，成立，所以在上单调递增； 当时，由，可得，所以在上为增函数； 由，可得，所以在上为减函数. 综上，时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数. 一、单选题 1．若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求定义域，再求导，得到函数单调性，从而列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】的定义为， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 要想在子区间上不是单调函数， 则，解得：,. 故选：B 2．若函数在内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求定义域，求导，分和两种情况，结合