第17讲 导数的极值（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第17讲 导数的极值 1.函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2.函数的极值的辨析 (1)函数的极值是一个局部概念,是某个点的函数值与它附近的函数值相比较是最大的或是最小的,因而端点不是函数的极值点. (2)函数在定义域的某个区间内极大值或极小值不一定唯一,也可能不存在,并且函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系. (3)函数的极值点处的导数为0,但导数为零的点可能不是函数的极值点. (4)若函数f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在区间(a,b)内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值. 考点一 利用导数求解函数的极值 考点二 利用函数的极值求参数值 考点三 利用导数解决函数的极值点问题 考点一：利用导数求解函数的极值 例1．函数（    ） A．有极大值1，无极小值 B．无极大值，也无极小值 C．有极小值0，极大值1 D．有极小值1，无极大值 【答案】D 【分析】直接求导得，利用导数与极值的关系即可得到答案. 【详解】，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值， 故选：D. 例2．已知，下列说法正确的是（    ） A．无零点 B．单调递增区间为 C．的极大值为 D．的极小值点为 【答案】C 【分析】由的定义域为，可判定B不正确；求得，得到函数的单调性和极值的概念，可判定C正确，D不正确；结合单调性和，可判定A不正确. 【详解】由函数，可得定义域为，所以B不正确； 又由，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，极大值为，无极小值， 所以C正确，D不正确； 当时，；当时，；当时，， 所以函数在定义域内有一个零点，所以A不正确. 故选：C. 考点二：利用函数的极值求参数值 例3．若函数在处取得极值2，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】求导，根据处的极值为2，列方程解方程得到，，即可得到. 【详解】解：， ， 又函数在处取得极值2， 则，且， 所以，，经检验满足要求，所以． 故选：A． 例4．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，由导函数在上有两个零点可得实数的取值范围. 【详解】∵有两个不同的极值点， ∴在上有2个不同的零点， ∴在有2个不同的实数根， ∴，解得． 故选：B 考点三：利用导数解决函数的极值点问题 例5．已知函数，则的极值点个数为（    ） A．由参数确定 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而得到函数的极值点. 【详解】函数的定义域为，且， 令，解得或， 所以当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，故有个极值点. 故选：D 例6．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求定义域，求导，观察出导函数单调递增，结合零点存在性定理得到，对求定义域，求导，得到其单调性和极值，最值，得到，判断出. 【详解】的定义域为， 在上单调递增，且，， 所以，． 的定义域为，由， 当时，，当时，， 故在处取得极大值，也是最大值，， 即．所以． 故选：A 一、单选题 1．已知函数，则的极小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为 所以， 令，则，解得或（舍）， x 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 由此表可知，当时，的取得极小值为. 故选：D. 2．数列在时有（    ） A．不存在极值 B．既有极大值也有极小值 C．极小值 D．极大值 【答案】D 【分析】根据函数极值的概念，求导确定函数单调性即可得结论. 【详解】因为，，所以， 所以时，，函数单调递增，时，，函数单调递减； 所以函数在时取得极大值，无极小值