专题6.9 反比例函数的应用（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题6.9 反比例函数的应用（知识讲解） 【学习目标】 1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解. 2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识. 【要点梳理】 要点一、利用反比例函数解决实际问题 1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2. 一般步骤如下： （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示。 （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 要点二、反比例函数在其他学科中的应用 1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 【典型例题】 类型一、反比例函数与实际问题 1、教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题： (1) 分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式； (2) 求出图中a的值； (3) 李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？ 【答案】(1)当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；(2)a＝40；(3)李老师要在7：38到7：50之间接水 【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案； （2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案； （3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案． 解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b， 将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得， 解得k1＝10，b＝20． ∴当0≤x≤8时，y＝10x+20． 当8＜x≤a时，设y＝， 将（8，100）的坐标代入y＝， 得k2＝800 ∴当8＜x≤a时，y＝． 综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝． （2）将y＝20代入y＝， 解得x＝40， 即a＝40； （3）当y＝40时，x＝＝20． ∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20， 即李老师要在7：38到7：50之间接水． 【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键． 举一反三： 【变式1】 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）20；（2）能，见解析 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值 （2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论 解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上， ∴， ∴．将x=45代入 将x=45代入得： 点对应的指标值为． （2）设直线的解析式为，将、代入中， 得，解得． ∴直线的解析式为． 由题得，解得． ∵， ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 【点拨】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。 【变式2】为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1) 药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 　 　，自变量x的取值范围为 　 　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为