专题6.1 反比例函数（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题6.1 反比例函数（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解并掌握反比例函数的定义，判断一个函数是否为反比例函数； 2. 能够根据反比例函数的表达式确定参数值； 3. 能根据问题的反比例关系确定函数解析式． 【要点梳理】 要点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量， 是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 【典型例题】 类型一、反比例函数定义➼➼识别★★求参数★★函数值★★自变量取值范围 1、下列关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，进行判断即可． 解：A、，是正比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，符合题意； C、，是二次函数，不符合题意； D、，是一次函数，不符合题意； 故选B． 【点拨】本题考查反比例函数的判断．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键． 【变式】下列函数中，不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的三种形式判断即可． 解：反比例函数的三种形式为： ①（为常数， ），② （为常数，），③ （为常数，）， 由此可知：只有不是反比例函数，其它都是反比例函数， 故选：C． 【点拨】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的三种形式是解题的关键． 2、若点A（a，b）在反比例函数的图像上，则代数式ab-4的值为（ ） A．0 B．-2 C．2 D．-6 【答案】B 解：∵点（a，b）反比例函数上， ∴b=，即ab=2， ∴原式=2-4=-2． 故选B． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 【变式】反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n等于(   ) A．﹣8 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n=2×(-4)，然后解关于n的方程即可． 解：∵点（2，-4）和点（4，n）在反比例函数y=的图象上， ∴4n=2×(-4)， ∴n=-2． 故选D． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 3、已知反比例函数，若，则y的取值范围是______． 【答案】或 【分析】先求出x=-2时y的值，根据反比例函数性质得出即可． 解：把x=-2代入得：y=-4， ∵8＞0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，图象在第一、三象限， ∴当x≥-2时，函数y的取值范围是y≤-4或y＞0， 故答案为：y≤-4或y＞0． 【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键． 【变式】已知，都在反比例函数的图象上，若，则的值为______. 【答案】 【分析】把A、B两点的坐标代入解析式，再根据即可求解. 解：把，代入得： ∵ ∴ 故答案为-12 【点拨】本题考查的是反比例函数，整体代入思想是解答本题的关键. 4、如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是______． 【答案】## 【分析】根据点A在反比例函数（）上，轴，求得OC的长度，再根据垂直平分线的性质得到，将△的周长转化为即可． 解：∵点A在反比例函数（）上，轴 ∴ ∵ ∴ ∵的垂直平分线交轴于点 ∴ ∴△的周长= 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 【变式】两个反比例函数的图象在第一象限，第二象限如图，