2022-2023学年人教版数学九年级上册 第2讲 一元二次方程-配方法

第二讲 一元二次方程-配方法 知识解析 知识点一 1、直接开平方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解 若 则 ；表示为 方程有两个不等实数根 若 则 表示为 方程有两个相等的实数根 若 则方程无实数根 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 ． 例如：关于x的方程 其解方程过程如下： 知识点二 2、配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是 完全平方公式 . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 例如：2x²-4x-1=0 ① ② ③ ④ ⑤ 知识点三 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 例题精讲 考点一 利用直接开平方法接下列一元二次方程 例1 求下列x的值 （1）x2﹣25=0 （2）（x+5）2=16 （3）9(2x-1）²-7=0 （4）3(x+5）²+1=0 练1 用直接开平方法求下列各方程的根 (1) ； 　　　 (2) ； 　 (3) ；　　　(4) ． 考点二 用配方法解方程 例2 解方程： （1） （2） 练2 用配方法解方程. (1)； 　 (2). (3)； 　 (2). 练3 （2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（       ） A． B． C． D． 练4 （2022·辽宁大连·模拟预测）解方程：． 考点三 利用配方法解决问题 例3 若代数式，，则的值（　　） Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数 练5 若代数式Q=7x²+2x+3，P=3x²-2x+2，则关于Q、P的大小关系正确的是（ ） Ａ．Q>P Ｂ．Q=P Ｃ．Q<P Ｄ．不确定 例4 用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0． 练6 求代数式 的最小值 例5 已知，求的值． 课堂演练 1．一元二次方程配方后可变形为（ ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程 ，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2 3．代数式x2＋4x＋7的最小值为____． 4．将二次三项式x2＋4x＋5化成(x＋p)2＋q的形式应为____. 5．用配方法解方程时，可配方为，其中________． 6．t是实数，若a，b是关于x的一元二次方程x2－2x＋t－1=0的两个非负实根，则(a2－1)(b2－1)的最小值是____． 7．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69 8．用配方法解方程 ，则方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2= B．3（x﹣1）2= C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2= 9．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　； （2）已知x2﹣4x+