5.3 角平分线的性质 课件 2022--2023学年北师大版七年级数学下册

第五章 生活中的轴对称 5.3 简单的轴对称图形(三) 北师大版·数学·七年级下册 ——角平分线的性质 1 如图，在两条相交的道路之间有两村庄，现要在村庄附近建一个水塔，要求水塔到两村庄的距离相等，到两道路的距离也相等，问水塔应建在何处？ 情境导入 村庄A 村庄B 探究新知 方法一：用量角器量 方法二：折纸法 思考：如何找已知角的角平分线？ 方法三：尺规作图 3 探究新知 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.操作测量：在OC上取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，测量PD，PE的长.将三次数据填入下表： PD PE 第一次 第二次 第三次 4 探究新知 探究新知 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.操作测量：在OC上取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D，E为垂足，测量PD，PE的长.将三次数据填入下表： PD PE 第一次 第二次 第三次 D E D D E E P P P 发现：线段PD 与PE的大小关系为PD=PE. 1.6cm 1.6cm 2.1cm 2.1cm 3cm 3cm 6 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 演示验证： 探究新知 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 证明：∵PD⊥OA ,PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△POD和△PEO中 ｛ ∠AOC=∠BOC ∠PDO=∠PEO OP=OP. ∴△PDO≌△PEO(AAS) ∴PD=PE. 逻辑推理验证： 已知：∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA, PE ⊥OB，垂足分别是 D，E.求证：PD=PE. C 探究新知 角平分线的性质 探究归纳 角平分线上的点 . 到这个角的两边的距离相等 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE. PD⊥OA,PE⊥OB， 推理的理由有三个，缺一不可 如图，在两条相交的道路之间有两村庄，现要在村庄附近建一个水塔，要求水塔到两村庄的距离相等，到两道路的距离也相等，间水塔应建在何处？ 解决问题 村庄A 村庄B 解决问题 如图，在两条相交的道路之间有两村庄，现要在村庄附近建一个水塔，要求水塔到两村庄的距离相等，到两道路的距离也相等，问水塔应建在何处？ 11 例1:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm. 运用新知 4 变式：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______； （2）求△APB的面积； 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用 AB·PD=28. 解：作PD⊥AB于点D. 由（1）知，PD=PC=4， D 运用新知 2．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定点P的方法正确的是 (　 　) A．P为∠A、∠B两角平分线的交点 B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AB、AC两边上的高的交点 D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 B 运用新知 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P (　 　) A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．组成∠E的角平分线 D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外) D 运用新知 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，AC＝6，则AE＋DE等于 (　 　) A．4 B．6 C．8 D．10 B 运用新知 15 运用新知 如图，D是∠ACG的平分线上的一点， DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE＝CF. 运用新知 如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3， 求AD与BC之间的距离. 运用新知 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE. PD⊥OA,PE⊥OB， 课堂小结 角平分线的性质 一个点：角平分线上的点； 两相等：两条垂线段的长度相等 二距离：点到角两边的距离； 我们要欣赏数学，也需要数学! 谢谢！ Lavf58.20.100 Lavf58.20.100 5. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧