第15讲 导数的几何意义（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第15讲 导数的几何意义 1.导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义，就是曲线在点处切线的斜率k，即. 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈Q，α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0，且a≠1) f(x)=ln x f'(x)= 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ; (2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ; (3). 4.复合函数的导数 (1)定义:一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)求导法则:一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为. 5.常用结论 (1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. (2)导数是奇函数，则原函数是偶函数；反之，导数是偶函数，则原函数不一定是奇函数. (3). 考点一 利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围 考点二 “在”与“过”，求曲线的切线方程 考点三 利用导数值求参数值 考点一：利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围 例1．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（    ） A．[0， B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围即可求出结果. 【详解】因为，所以，因为，所以，又，所以， 故选：D. 例2．函数的图象在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果. 【详解】，， 即在处切线的斜率为，则其倾斜角为. 故选：B. 考点二：“在”与“过”，求曲线的切线方程 例3．（2023·全国·模拟预测）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，由此确定与坐标轴的交点坐标，进而得到围成的三角形面积. 【详解】记，则， ，又， 曲线在处的切线方程为：，即， 令，解得：；令，解得：； 该切线与坐标轴围成的三角形面积为. 故选：A. 例4．曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标是（    ） A． B． C．9 D．3 【答案】B 【分析】结合导数的几何意义求出切线方程，从而令即可求出结果. 【详解】因为，所以， 即切线的斜率， 则切线方程为，即， 令，可得， 故选：B． 考点三：利用导数值求参数值 例5．已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用导数法则及基本初等函数的导数公式，结合函数导数值即可求解. 【详解】由，得， 又因为， 所以，解得. 故选：B. 例6．曲线，在点处的切线方程为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义列式求解. 【详解】∵，则， ∴，， 切线的斜率，且过点 由题意可得，解得. 故选：C. 一、单选题 1．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，利用导数的几何意义及三角函数的诱导公式，结合三角函数的齐次式的解决方法及同角三角函数的商数关系即可求解. 【详解】因为， 所以 所以，解得， 所以 由题意可知，， 所以. 故选：B. 2．曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的计算公式以及导数的几何意义进行求解. 【详解】因为，所以， ， 所以曲线在处的切线的斜率为.故A，C，D错误. 故选：B. 3．直线过坐标原点且与曲线相切，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，求导得切线斜率，表示出切线方程，代入切点坐标解出，由斜率即可求解. 【详解】设切点，，则直线的斜率为，直线方程为，代入点，得， 解得，则斜率为1，故倾斜角为. 故选：B. 4．函数在处的导数为-2，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C．