专题12 线线角、线面角、二面角、点面距、线面距、面面距-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题12 线线角、线面角、二面角、点面距、线面距、面面距 【知识梳理】 知识点1、求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点2、异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 知识点3、直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 知识点4、作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 【典型例题】 例1．（2023·陕西汉中·高一校考期末）在正方体中，直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期中）在棱长为2的正方体中，分别为棱和的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的余弦值； 例3．（2023·浙江台州·高一台州一中校考期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，，，平面平面ABCD，点M在线段PB上，平面MAC． (1)判断M点在PB的位置并说明理由； (2)记直线DM与平面PAC的交点为K，求的值； (3)若异面直线CM与PA所成角的余弦值为，求二面角的平面角的正切值． 例4．（2023·天津·高一统考期中）如图，在长方形中，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 例5．（2023·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）如图，四面体中，，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点在上； ①点为中点，求与所成的角的大小； ②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值. 例6．（2023·浙江·高一校联考期中）在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E和F分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 例7．（2023·甘肃庆阳·高一校考期中）如图，在正方体中，是棱的中点． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求证：直线平面 (3)若正方体的棱长为2，求点到平面的距离 例8．（2023·福建厦门·高一统考期末）如图，棱长为2的正方体ABCD –A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF. (1)作出截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由； (2)求平面与平面的距离. 例9．（2023·湖南岳阳·高一统考期末）在直三棱柱中，，分别是，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，，． （ⅰ）求二面角的正切值； （ⅱ）求直线到平面的距离． 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·全国·高一期中）如图，在正方体中，直线与所成的角是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·云南楚雄·高一统考期末）在长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南岳阳·高一统考期末）如图所示，在正方体中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线与所成的角的大小为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 4．（2023·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期末）在长方体中，，，，则和所成的角是（    ） A．60° B．45° C．30° D．90° 5．（2023·江苏南通·高一金沙中学校考期末）直三棱柱