专题10 立体几何中的范围与最值问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题10 立体几何中的范围与最值问题 【知识梳理】 动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题。根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转。根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围。动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力。 【典型例题】 例1．（2023·浙江·高一期中）已知正四面体内接于球，D为棱AB上点，满足．若存在过D点且面积为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·河南漯河·高一校考期中）图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体（如图2）．设这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为，若半球的体积不小于圆柱体积，则S的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·安徽亳州·高一统考期末）如图，在长方体中，，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形内一动点（含边界），且直线，EF与平面所成角的大小相等，则下列说法错误的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为4 C．存在点F，使得 D．线段的长度的取值范围为 例4．（2023·广西钦州·高一统考期末）如图所示，在边长为1的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过直线EF的平面分别与棱，交于M，N，则四边形EMFN的面积最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 例5．（2023·广东·高一校联考期中）在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 例6．（多选题）（2023·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）在直三棱柱中，，点P在线段上，则的（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 例7．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）如图，正方形的边长为2，为的中点，将沿向上翻折到，连接，，为的中点，在翻折过程中（    ） A．四棱锥的体积最大值为 B．平面 C．三棱锥的外接球半径的最大值是 D．直线，与平面所成角的正弦值之比为 例8．（2023·陕西·高一校联考期中）在四棱锥中，底面，底面为正方形，且.若与底面所成的角大于，则的长度的取值范围为__________. 例9．（2023·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考期中）如图所示，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后将余下的四个全等的等腰三角形组成一个正四棱锥､若正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面边长为单位：，且，则该球的半径（单位：）的取值范围是__________. 例10．（2023·河南郑州·高一校考期中）如图，一个棱长为6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是______． 例11．（2023·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是__． 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·北京昌平·高一校考期中）已知正方体的棱长为为线段上的动点，为的中点，过点，的平面截该正方体所得截面为.若为五边形，则此时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南信阳·高一信阳高中校考期末）我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥.现有一正三棱锥放置在平而上，已知它的底面边长为2，高，该正三棱锥绕边在平面上转动（翻转），某个时刻它在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若底面正方形的边长为2，则四棱锥的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·河南安阳·高一统考期末）如图所示，P是正三棱柱表面上的一个动点，且，若三棱锥的体积为3，则AP长度的最大值､最小值分别为（    ） A．4，1 B．，1.5 C．4.5， D．，2 6．（2023·广东揭阳·高一统考期末）四面体的四个顶点都在球的球面上，，，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．过点，，作四面体的截面，则该截面的面积为2 B．四面体的体积为 C．与的公垂线段的长为（