专题09 玩转外接球、内切球 、棱切球-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题09 玩转外接球、内切球、棱切球 【知识梳理】 知识点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 知识点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 知识点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 知识点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： ． 由此推广：侧棱相等的锥体外接球半径： 知识点七：垂面模型外接球 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 知识点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 【典型例题】 例1．（2023·河北邯郸·高一大名县第一中学校考期中）正方体的体积为8，则正方体的外接球的半径为（    ） A．2 B． C．3 D．4 例2．（2023·广东·高一校联考期中）在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·陕西西安·高一长安一中校考期中）在直三棱柱中，，，点P为的中点，则四面体PABC的外接球的体积为（    ） A．. B． C． D． 例4．（2023·湖南·高一校联考期中）已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 例5．（2023·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 例6．（2023·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（    ） A．2：3 B．3：2 C． D． 例7．（2023·河北·高一校联考期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 例8．（2023·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球和内切球的半径之比为_______. 例9．（2023·广东·高一校联考期中）已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________． 例10．（2023·安徽芜湖·高一校考期中）已知一个棱长为2的正方体玻璃容器内（不计玻璃的厚度）放置一个正四面体（六条棱长均相等的三棱锥），若正四面体能绕着它的中心（即正四面体内切球的球心）任意转动，则正四面体棱长的最大值为___________. 【过关测试】 一、多选题 1．（2023·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期中）如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，BC2.若将正三棱锥绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点处，且，B，C