第三单元 空间向量及其应用 综合特训-【小题狂刷】2023高考数学立体几何与选修系列专题特训

小题狂刷 高考专题特训 46 综合特训 1.(2022·全国卷3)如图,四棱锥 P-ABC 中, PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA =BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD,N 为PC 的中点. (1)证明:MN∥平面PAB; (2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 2.(2022·全国卷2)如图,菱形ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点O,AB=5,AC=6,点E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF= 5 4 ,EF 交 BD 于 点 H.将 △DEF 沿EF 折到△D'EF 位置,OD'= 10. (1)证明:D'H⊥平面ABCD; (2)求二面角B-D'A-C 的正弦值. 3.(2022·全国卷1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD, ∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE -F 都是60°. (1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC; (2)求二面角E-BC-A 的余弦值. 4.(2022· 安 徽 高 考)如 图 所 示,在 多 面 体 A1B1D1-DCBA 中,四边形AA1B1B,ADD1A1,AB- CD 均为正方形,E 为B1D1 的中点,过A1,D,E 的平 面交CD1 于F. (1)证明:EF∥B1C; (2)求二面角E-A1D-B1 余弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学·立体几何与选修系列 47 5.(2022·北京高考)如图,在四棱锥A-EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面 AEF⊥平面EFCB, EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O 为EF 的中点. (1)求证:AO⊥BE; (2)求二面角F-AE-B 的余弦值; (3)若BE⊥平面AOC,求a的值. 6.(2022·四川高考)一个正方体的平面展开图及 该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设 BC 的中点为M,GH 的中点为N. (1)请将字母F,G,H 标记在正方体相应的顶点 处(不需说明理由); (2)证明:直线 MN∥平面BDH; (3)求二面角A-EG-M 的余弦值. 本试卷共100分,考试时间100分钟. 解答题(共10题,每小题10分,共100分.) 1.(2022· 湖 南 怀 化 期 中)如图,在四棱锥S- ABCD 中,底面ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD, SA=AB,点 M 是SD 的中点,AN⊥SC 且交SC 于点 N. (1)求证:平面SAC⊥平面AMN; (2)求二面角D-AC-M 的余弦值. 2.(2022·福建莆田三校联考)如图,四边形AB- CD 是正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=DA =3AF. (1)求证:AC⊥BE; (2)求平面FBE 和平面DBE 所形成的锐二面角 的余弦值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 小题狂刷 高考专题特训 48 3.(2022·郑 州 质 量 预 测)如图,在四棱锥 P- ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD∥BC,PD⊥ 底面ABCD,∠ADC=90°,BC= 1 2AD=1 ,PD=CD =2,Q 为AD 的中点,M 为棱PC 上一点. (1)试确定点M 的位置,使得PA∥平面BMQ,并 证明你的结论; (2)若PM=2MC,求二面角P-BQ-M 的余弦 值. 4.(2022·洛 阳 统 一 考 试)如图,在四棱