第13讲 零点问题（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第13讲 零点问题 1.函数的零点 (1)对于一般函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)方程的根与函数零点的关系： (3)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 函数 y=ax2+bx+c(a>0) 图象 与x轴的公共点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 3.常用结论 (1)若函数在区间[a,b]上单调,且的图象是连续不断的一条曲线,则函数在区间[a,b]上只有一个零点. (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4).周期函数若存在零点,则必有无穷个零点. 考点一 零点存在定理法判断函数零点所在区间 考点二 方程法判断函数零点（个数） 考点三 零点存在定理与函数性质结合法判断零点个数 考点四 利用函数的交点（交点个数）求参数值或参数范围问题 考点一：零点存在定理法判断函数零点所在区间 例1．函数的零点一定位于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数单调性,再将选项的区间端点代入,直到端点处的函数值异号,即为所求. 【详解】解:由题知, 因为,在上均单调递增, 所以在上单调递增,故最多有一个零点, 因为 所以零点一定位于内. 故选:C 例2．已知函数在区间上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： 设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为（     ）A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据零点的存在定理，判断区间内存在零点. 【详解】由零点存在性定理，在上至少各有一个零点，在区间上零点至少3个. 故选:.B 考点二：方程法判断函数零点（个数） 例3．函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用方程法分别求出当、时函数的零点，进而即可求解. 【详解】当时，令，解得； 当时，令，解得. 所以函数有2个零点. 故选：C. 例4．函数的零点为（    ） A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0） 【答案】A 【分析】令，解对数方程，求出x＝10. 【详解】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10， 故选：A. 考点三：零点存在定理与函数性质结合法判断零点个数 例5．已知函数（且）的图象过定点，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数所过定点的坐标可得出，求出、的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数（且）的图象过定点， 则，可得，所以，， 因为函数、在上均为减函数， 所以，函数在上为减函数， 且，， 由零点存在定理可知，函数的零点在区间内. 故选：A. 例6．已知函数,则函数零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】根据函数单调性，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】解：因为函数在上均为单调递减函数， 所以函数在上为单调递减函数， 因为，， 所以，存在唯一实数，使得. 所以，函数零点个数为个. 故选：A 考点四：利用函数的交点（交点个数）求参数值或参数范围问题 例7．（2022·全国·高三专题练习）若直线y=2a与函数的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出两个函数在同一坐标系下的图象，数形结合分析即得解. 【详解】画出两个函数在同一坐标系下的图象， 若两个函数图象有且只有一个公共点， 则或，或. 故选：D． 例8．已知函数若方程有且仅有两个不等实根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数图象，将问题转化为与有两个交点，数形结合即可得解. 【详解】解：因为，所以的函数图象如下所示： 因为方程有且仅有两个不等实根，所以与有两个交点， 由图可知. 故选：B 一、单选题 1．已知函数，则的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理，只需判断两个端点的函数值，即两个端点函数值异号即可. 【详解】由已知得，，，， ， 所以，由零点的存在定理得，的零点所在的区间为， 故选：D． 2．（2