第14讲 函数不等式求解问题（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第14讲 函数不等式求解问题 1.恒成立问题： (1)恒成立；恒成立． (2)恒成立；恒成立． (3)恒成立；恒成立； (4)，，． 2.有解问题： (1)有解；有解． (2)有解；有解． (3)有解；有解． (4)，，． 3.单调性问题： 若在上单调递增（减），，则 (1)； (2). 考点一 二次不等式恒成立问题 考点二 二次不等式能成立问题 考点三 含对数、指数不等式问题 考点四 利用函数单调性解不等式 考点一：二次不等式恒成立问题 例1．函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先验证时的情况，再当时，利用二次函数的性质列不等式求解. 【详解】当时，，定义域不为； 当时，若函数的定义域为， 则，解得 故选：A. 例2．若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原命题等价为在R上恒成立，结合二次函数的性质列不等式求解即可. 【详解】∵函数在R上是增函数，在R上恒成立， ∴. 故选：B. 考点二：二次不等式能成立问题 例3．设a为实数，若关于x的不等式在区间上有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可. 【详解】由题意，因为，故在区间上有实数解，则，又在上单调递减，在上单调递增，且，，故.故在区间上有实数解则. 故选：A 例4．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据“，”是假命题，得出它的否定命题是真命题，转化为一元二次不等式的能成立问题，求出实数a的取值范围. 【详解】∵命题“，”是假命题， ∴命题“, ”是真命题， 即存在x使得. 因为，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 考点三：含对数、指数不等式问题 例5．（2023·全国·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质和一元二次不等式的解法，分别求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由，可得，则， 又由，解得，因为，所以， 所以． 故选：D． 例6．（2023·全国·高三专题练习）某科技研发公司2022年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（    ）（参考数据：，，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 【答案】D 【分析】设年后公司全年投入的研发资金为，根据题意列出与的关系，即可列不等式解出的最小值，即可得出答案. 【详解】设年后公司全年投入的研发资金为， 则根据题意有， 研发资金开始超过600万元，即，解得， 则的最小值为8， 则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是年， 故选：D. 考点四：利用函数单调性解不等式 例7．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数为减函数可得，从而得出答案. 【详解】由函数是实数集上的减函数，又 所以，解得 故选：C 例8．（2021春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，构建函数，结合单调性分析可得，再结合对数函数单调性逐项分析判断. 【详解】因为，所以 构造函数，则在上单调递增， 故，所以， 对A、B：则，但无法确定与1的大小关系，故无法确定与0的大小关系，A、B错误； 对C、D：，且在定义域上单调递增，所以，C错误，D正确. 故选：D. 一、单选题 1．若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令,则，利用基本不等式可以求出结果. 【详解】令，由题意可得， ，当且仅当，即时等号成立， ，所以实数的取值范围为. 故选：C. 2．已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出、，依题意可得，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 函数在上单调递减，所以， 因为恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 3．已知函数，若对有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对有恒成立，即 即可解决. 【详解】因为， 所以函数在上是增函数， 所以当时，， 因为在上是增函数， 所以当时，， 因为对有恒成立， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为，