秘籍10 圆锥曲线大题归类（7大题型）-备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

秘籍10 圆锥曲线大题归类 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 定点、定值类和设点设线类问题 圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以一般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。 【题型一】 求根型 求根型有以下几种： 1.知道一根求另一根 2.求根公式型 3.韦达定理型 1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，. (1)求的标准方程； (2)抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由. 2．（2023·陕西西安·统考一模）数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线的实轴长为，其蒙日圆方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点关于坐标原点的对称点为，不过点且斜率为的直线与双曲线相交于两点，直线与交于点，求直线的斜率值. 3．（2023·广西·校联考模拟预测）已知抛物线上一点的横坐标为4，且到焦点的距离为5， (1)求抛物线的方程； (2)点是抛物线上异于原点的不同的两点，且满足，求的最小值． 1．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)设，为上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点，在椭圆上运动，且的最小值为；当点不在轴上时点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆在第一象限交于点，若的内角平分线的斜率不存在.探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由. 3．（2023·甘肃武威·统考三模）已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点． ①证明：直线CD过椭圆右焦点； ②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【题型二】 最值型 解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： 1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； 2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 3、此类问题通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解． 比较多的是分式型，以下几种求最值的基本方法： （1） （2）与型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求解。 （3）型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解 1.已知椭圆C:的离心率为,且过 (1)求C的方程. (2)若为上不与重合的两点,为原点,且,, ①求直线的斜率; ②与平行的直线与交于,两点,求面积的最大值. 2．（2021·山西大同·校考模拟预测）已知P是椭圆上的动点，P到坐标原点的距离的最值之比为，P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2. （1）求椭圆C的方程； （2）若D为椭圆C的弦AB的中点，，证明：的面积为定值. 3．（2023·上海黄浦·统考二模）已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）. (3)若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍． 1．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，且F与圆M：上点的距离的最小值为3． (1)求p； (2)若点P在圆M上，PA，P