精品解析：上海市曹杨第二中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

上海市曹杨二中2022学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知点在角的终边上，则__________. 2. 函数的最小正周期为____ 3. 若复数满足（其中i是虚数单位），则______. 4. 已知，，则的单位向量是________. 5. 已知向量，，则在方向上的数量投影为______. 6 若，则______. 7. 已知，且，则______. 8. 已知、均为单位向量，且，则______. 9. 已知公式，，借助这个公式，我们可以求函数的值域，则该函数的值域是______. 10. 若，则______. 11. 设，若函数在区间上最小值为，则的取值范围是______. 12. 已知是单位向量，向量满足.若不等式对任意实数都成立，则的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 设是两个不平行向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 14. 设且，“z是纯虚数”是“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件条件 D. 即非充分又非必要条件 15. 设.若对任意，都存在，使得，则可以（ ） A. B. C. D. 16. 在中，若，则角的大小为 A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17 设，. （1）若函数是定义在上的奇函数，求的值； （2）若，求函数在区间上的取值范围. 18. 在中，角、、的对边分别为、、.设向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 19. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，，路宽米，设. （1）求灯柱的高（用表示）； （2）此公司应该如何设置的值，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？并求出此最小值.（精确到0.01米） 20. 如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点. （1）求的值； （2）若为线段上一点，且，求实数的值； （3）若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 21. 已知，.设，并记. （1）若，，求集合； （2）若，试求的值，使得集合恰有两个元素； （3）若集合恰有三个元素，且对于任意的都成立，其中为不大于7的正整数，求的所有可能值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市曹杨二中2022学年度第二学期 高一年级期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知点在角的终边上，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义直接求解. 【详解】已知点在角的终边上， 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2. 函数的最小正周期为____ 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦型函数的性质求最小正周期即可. 【详解】由余弦函数的性质知：最小正周期. 故答案为： 3. 若复数满足（其中i是虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知求得，再由共轭复数的概念求得． 【详解】由，得， ，则． 故答案为：． 4. 已知，，则的单位向量是________. 【答案】 【解析】 【分析】写出的坐标，求出的模长，利用即可求出的单位向量. 【详解】 即 故答案为 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查学生对模长和数量积的坐标表示，属于基础题. 5. 已知向量，，则在方向上的数量投影为______. 【答案】2 【解析】 【分析】求出两向量的数量积，根据数量投影的意义即可求得答案. 【详解】由题意向量，，得向量， ， 故在方向上的数量投影为， 故答案为：2 6. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】分子、分母同除以解方程即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 7. 已知，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式结合同角的三角函数关系求得，再根据两角和的正切公式即可求得答案. 【详解】由可得， 而，故，故， 则， 故答案为： 8. 已知、均为单位向量，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直时数量积等于0，可求得，根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】由已知、均为单位向量，且， 可得，即， 即， 故，由于， 故， 故答案： 9. 已知公式，，借助这个