北京市昌平区2023届高三下学期第二次统一练习数学试卷

昌平区2023年高三年级第二次统一练习 数 学 试 卷 2023.5 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，则集合 （A） （B） （C） （D） （2）在的展开式中，的系数为 （A） （B） （C） （D） （3）已知复数满足，则的值为 （A） （B） （C） （D） （4）已知函数为奇函数，且当时，，则 （A） （B） （C） （D） （5）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 （A）在区间上单调递增 （B）在区间上单调递减 （C）在区间上单调递增 （D）在区间上单调递减 （6）已知点在直线上，点，则的最小值为 （A） （B） （C） （D） （7）已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D） （8） 对于两个实数，设 则“”是“函数 的图象关于直线对称”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）已知等比数列的前项和为，则下列结论中一定成立的是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则 （10）某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在 （A）路口 （B）路口 （C）路口 （D）路口 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）三个数中最大的数是_________ . （12）已知抛物线的焦点为，点在上，且在第一象限，则点的坐标为______ ；若，点到直线的距离为______ . （13）若函数的最大值为，则________ ，的一个对称中心为________ . （14）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是_________ . （15）如图，在长方体中，，动点,分别在线段和上. 给出下列四个结论： ①； ②△不可能是等边三角形； ③当时，； ④至少存在两组,，使得三棱锥的四个面均为直角三角形. 其中所有正确结论的序号是_________________ . 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 在△中，. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求△的面积. (17)（本小题13分） 在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且 平面，，分别是的中点，是上一点，且. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. （18）（本小题14分） 2023年9月23日 至 2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行. 杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下: 班号 1 2 3 4 人数 30 40 20 10 该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10 个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品. 假设每位同学的作答情况相互独立. （Ⅰ）求各班参加竞赛的人数； （Ⅱ）2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）若1 班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为，求1班参加竞赛的同学中至少有 1位同学获得奖品的概率. （19）（本小题15分） 已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，且右焦点为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设分别为椭圆的左、右顶点，点为椭