7.2.2 等差数列前n项和公式（教案）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2021·拓展模块一下册）

7.2.2等差数列前n项和公式 知识 能力与素养 掌握等差数列的前n项和公式及推导过程；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题. 培养学生的逻辑推理能力；培养学生分析问题，解决问题的能力． 学习目标 学习重难点 重点 难点 等差数列前n项和公式的推导，理解及应用. 等差数列前n项和公式的推导及应用． 教材分析 等差数列的前n项和”是对前面所学的等差数列相关知识的巩固和应用，无论在知识还是能力上，都是进习其他数列知识的基础．同时，在推导等差数列的前n项和公式的过程中所采用的“倒序相加法”是今后数列求和的一种常用且重要的方法．因此，掌握等差数列的前n项公式及推导为后面将要学习的等比数列的相关知识打下坚实的基础．同时起到了承上启下的重要作用．. 学情分析 学生已学习了数列通项公式，对数列有了初步的认识，能在教师的引导下解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高. 教学工具 教学课件 课时安排 2课时 教学过程 （一）创设情境，生成问题 某街道举办国庆70周年成就展,在展厅前用鲜花摆放了一个等腰梯形花坛.花坛由前到后共有12排，最前一排摆放了10 盆鲜花，往后每排依次增加2盆. 写出由前到后每排摆放的鲜花盆数构成的数列，并计算这个花坛一共用了多少盆鲜花. 【设计意图】借助几何图形为倒序相加法提供了一个直观模型. （二）调动思维，探究新知 容易算出,第2排的花盆数为 12，第3排的花盆数为 14,…,第 12排的花盆数为 32． 因此,由前到后每排的花盆数构成的数列为  10,12,14,…,32.  要计算一共用了多少盆鲜花,就是要计算等差列10,12,14,⋯,32各项的和.设想将等腰梯形倒过来,与原来的等腰梯形合并在一起,如图所示,可以发现每一排的花盆数都是42，即  10+32=12+30=14+28=…=32+10.  因为一共有12排花盆,所以这个花坛的花盆总数为 一般地，数列{an}的前n项和记为Sn ，于是有 Sn=a1 + a2 + a3 + …+an-1+an， (1) (1)式也可以写为 Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1． (2) 将(1)式与(2)式相加，可得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+ (a3+an-2)+… +(an+a1) 因为在等差数列{an}中 a1+an=a1+an a2+an-1=(a1+d )+(an−d )=a1+an， a3+an-2=(a1+2d )+(an−2d )=a1+an， …… an+a1=a1+an 所以 2Sn=n (a1+an) . 由此得到等差数列的前n项和公式 因为an=a1+(n -1)d，所以上面的公式又可写成 【设计意图】按照从特殊到一般的过程推导等差数列通项公式，用倒序相加法推导等数列求和公式. 探究与发现 当一个等差数列的公差为正数的时候，它的前n项和一定随着项数的增加而增加么？反之，当公差为负数时，它的前n项和一定随着项数的增加而减少么？ （三）巩固知识，典例练习 【典例1】在等差数列{an}中，a1=5，a9=85，求S9． 解：根据等差数列的前n项和公式 得 【典例2】等差数列-6，- 4，-2，0，…的前多少项的和等于30？ 解：设该数列的前n项和等于30 由于a1=-6，d=a2-a1=(-4)-(-6) =2，故由等差数列前n项和公式 得 即 n2-7n-30=0. 解得 n=10或n=-3(舍去)， 因此，该数列的前10项和是30． 【设计意图】例1和例2是巩固性练习，目的是学习根据条件灵活公式解题. （四）巩固练习，提升素养 1. 填空： (1) 若已知等差数列中的，则的表达式是 ； (2) 若已知等差数列中的 则的表达式是 ； (3) 等差数列3，3，3，3，…前10项的和是 . 2. 在等差数列{an}中，a1=3，a20=100，求 S20． 3. 在等差数列{an}中，a1=1， ，求 S10 ． 4. 在等差数列{an}中，an=n+1, 求 S20． 【设计意图】