全等三角形的七大模型压轴题训练（一）-2022-2023学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

全等三角形的七大模型压轴题训练（一） 1．数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证； 在此问题的基础上，老师补充： 过点作于点交于点，过作交于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 小白通过研究发现，与有某种数量关系； 小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论． 阅读上面材料，请回答下面问题： （1）求证； （2）猜想与的数量关系，并证明； （3）探究线段，，之间的数量关系，并证明． 2．如图，在中，为锐角，点为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，. （1）如果，. ①当点在线段上时，如图1，线段、的位置关系为___________，数量关系为_____________ ②当点在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由. （2）如图3，如果，，点在线段上运动．探究：当多少度时，？小明通过（1）的探究，猜想时，.他想过点作的垂线，与的延长线相交，构建图2的基本图案，寻找解决此问题的方法．小明的想法对吗？如不对写出你的结论；如对按此方法解决问题并写出理由. 3．在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD． （1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小； （3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小． 4．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F． （1）求证：AE=EF； （2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？　　；（填“成立”或“不成立”）； （3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由． 5．已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H． （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 6．（1）方法呈现： 如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 7．如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F． （1）求证：AE＝DC； （2）求∠BFE的度数； （3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD． 8．如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE． （1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为________度； （2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面积； （3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想． 9．如图，在四边形中，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动设运动时间为． （1）如图①，连接，当时，求的值； （2）如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值； （3）如图③，当（2）中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点．连接当时，，请求出此时的值． 10．（1）问题发现： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则： ①∠AEB的度数