专题15 空间中的五种距离问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第二册）

专题15 空间中的五种距离问题 【题型归纳目录】 题型一：点线距 题型二：异面直线的距离 题型三：点面距 题型四：线面距 题型五：面面距 【方法技巧与总结】 空间中的距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解． 【典型例题】 题型一：点线距 例1．（广东省东莞市东莞一中、东莞高级中学2022-2023学年高一下学期第二次质量检测数学试题）设所在的平面，，PB、PC分别与成45°和30°角，，点P到BC的距离是_________________． 【答案】 【解析】如图所示： 根据题意可知，又， 所以；； 又，所以； 作于，由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，所以即为点P到BC的距离； 易知，由勾股定理可得. 即点P到BC的距离. 故答案为： 例2．（沪教版（2020）选修第一册领航者期末测试）已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_________． 【答案】 【解析】如图，连接，过B作，则即为点B到直线的距离， 在正方体中，平面，，在直角中，，且，所以 ，点B到直线的距离为. 故答案为：. 题型二：异面直线的距离 例3．（安徽省马鞍山市第二中学2022-2023学年高一下学期期中素质模拟测试数学试题）如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，点D是AB的中点. (1)求点B到平面B1CD的距离； (2)求异面直线AC1和B1C所成角的余弦值. 【解析】（1）因为△ABC正三角形，D为AB的中点，AB＝2，则BD＝1，CD＝． 又BB1⊥底面ABC，BB1＝AA1＝1，则B1D＝， B1C， 则，所以CD⊥B1D． 所以，． 设点B到平面B1CD的距离为d， 由，得，即， 所以，即点B到平面B1CD的距离为． （2）连结BC1，交B1C于点M，连结MD，则M为BC1的中点， 又D为AB的中点，则AC1∥MD，所以∠CMD或其补角即为异面直线AC1和B1C所成角, 因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥AC，CC1＝1，AC＝2，所以AC1＝， 所以MD＝，又CD＝，CM＝， 由余弦定理，得． 所以异面直线AC1和B1C所成角的余弦值为． 例4．（沪教版（2020）必修第三册高效课堂第十章10.5异面直线间的距离）已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离． 【解析】∵,，，∴， 因为与所成角大小为，而，则， 因为与所成角大小为，而，则， ，则，，， 又是矩形， 所以线段是直线与的公垂线段，线段是与的公垂线线段， 所以直线与的距离是，与的距离是． 例5．（沪教版（2020）必修第三册高效课堂第十章10.5异面直线间的距离）所有棱长都为1的四面体中，找到异面直线和的公垂线，求出和的距离． 【解析】如图，取中点，中点，连接， 由已知，∴，同理， 所以是与的公垂线，与的距离即为线段的长． 且， 所以与的距离即为． 例6．（沪教版（2020）必修第三册高效课堂第十章10.5异面直线间的距离）空间四边形中，，，，，，求异面直线和的距离． 【解析】，，，平面，∴平面， 又平面，则，， 同理由，，，平面得平面，平面，∴， 所以是异面直线和的公垂线段，∴异面直线和的距离为． 例7．（沪教版（2020）必修第三册经典导学第10章10.5异面直线间的距离）如图，在长方体中，，，．求异面直线和距离． 【解析】连接交于点M，交于点，连接， 由长方体的性质，得是的中点，是的中点． 在矩形中，可得， ∵平面，平面， ∴，∴，同理， ∴就是异面直线和的距离． ∵， ∴异面直线和的距离是． 题型三：点面距 例8．（甘肃省庆阳第六中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题）如图，在正方体中，是棱的中点． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求证：直线平面 (3)若正方体的棱长为2，求点到平面的距离 【解析】（1）直线平面， 在正方体中，连接交于点，连接，如图， 因为四边形为正方形，则为中点，又为中点， 因此，又平面，平面， 所以平面. （2）在正方体中，连接，如图， 因为四边形为正方形，则，而平面，平面， 即有，又，平面，则平面， 而平面，因此，同理平面，又平面， 即有，因为，平面， 所以平面. （3）在三棱锥中，， 则的面积，的面积， 设点到平面的距离为，由得：， 于是， 所以点到平面的距离为. 例9．（江西省2023届高三教学质量监测数学（文）试题）如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，棱的中点为. (1)求证：平面； (2)若的面积是，求点到平面的距离. 【解析】（1）因为为菱形，所以. 又因为，平面 所以平面. 因为平面，所以. 又由已知，平面 所以平面. （2）因为为的中点， 所以点到平面的距离等于