第10讲 函数性质问题（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第10讲 函数性质问题 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,∀x∈I,都有-x∈I,且 f(-x)=f(x) 关于y轴对称 奇函数 f(-x)=-f(x) 关于原点对称 2.奇(偶)函数的性质 (1)如果函数是偶函数,那么. (2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函数×偶函数=奇函数. (4)若函数是奇函数,且在处有定义,则. 3、周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 4.常用结论 (1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (2)函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)函数对称性常用结论 ①f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线对称． 当时，f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称． ②f(a+x)+f(b-x)=c⇔f(x)的图象关于点对称， 当时，f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点对称． 考点一 利用函数奇偶性求参数值 考点二 定义法判断证明函数的奇偶性 考点三 利用函数奇偶性解抽象函数不等式 考点四 对称性，周期性，单调性与奇偶性综合问题 考点一：利用函数奇偶性求参数值 例1．已知函数的图象关于原点对称，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由题可得函数为奇函数，然后利用即得. 【详解】由已知得的定义域为且是奇函数， ， 解得， 检验：当时，， ， 故 故选：B. 例2．（2023·青海西宁·统考一模）若是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数定义可求得，利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程. 【详解】为偶函数，， 即，，解得：， ，则，， ，在点处的切线方程为，即. 故选：A. 考点二：定义法判断证明函数的奇偶性 例3．下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义判断各选项是否为奇函数，再判断各函数的单调性即可. 【详解】对于A选项，因为时，，时，，所以函数不是奇函数，A错误； 对于B选项，因为时，，时，，所以函数不是奇函数，B错误； 对于C选项，记，则，所以函数为奇函数， 但时，，时，，所以函数在上不单调递增，C错误； 对于D选项，设，则，所以函数为奇函数， 又函数在上都为增函数，所以函数在上为增函数，D正确； 故选：D． 例4．若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可. 【详解】若，则， 则是偶函数，故A错误； 若，则,则是偶函数，故B错误； 若，则，则是奇函数，故C正确； 若，则， 则是偶函数，故D错误. 故选：C 考点三：利用函数奇偶性解抽象函数不等式 例5．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和奇偶性求解. 【详解】由于 是偶函数， 又因为时，为增函数， 所以， 有 ，即； 故选：D. 例6．若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且， 所以在上也是单调递增，且，， 所以当时，，当时，， 所以由，可得或 解得或，即， 故选：C. 考点四：对称性，周期性，单调性与奇偶性综合问题 1.奇偶性与周期性综合问题 例7．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且满足.若，则（    ） A．0 B．4