空间向量与立体几何章末复习课件——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫_______，记为0 单位向量 ______的向量叫单位向量 相反向量 与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a 相等向量 方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量 零向量 模为1 相等 相反 相同 相等 同向 等长 平面向量/ 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 减法：三角形法则 加法：三角形法则或平行四边形法则 空间向量 数乘：ka，k为正数,负数,零 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 空间向量的线性运算 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算. 证明？ 推广 ①首尾相接的若干向量之和， ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形, 则它们的和为: 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量； 零向量 (1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝____. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________； ③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展). 相反 |λ||a| (λμ)a λa＋λb λ1a＋λ2a 空间向量的数乘运算 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔_______ ②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________. 特别地，a·a＝____或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______ ④|a·b|≤|a|·|b| 空间向量的数量积的性质 a·b＝0 |a|·|b| －|a|·|b| |a|2 A B (1) (2) (3) 图1.1-11 空间向量的共线（平行）的 充要条件 零向量与任意向量共线 （1）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 （2）共线向量定理: （类比平面向量共线充要条件） 共面向量定理: 空间向量的共面充要条件 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． 线线平行 l1∥l2⇔_________⇔____________________ 线面平行 l1∥α⇔______________⇔________________ 面面平行 α∥β⇔______________⇔________________ 线线垂直 l1⊥l2⇔_____________⇔________________ 线面垂直 l1⊥α⇔______________⇔________________ 面面垂直 α⊥β⇔______________⇔_____________ 1.点到直线的距离（勾股定理）-平行线间的距离 2.点P到平面α的距离-平行线面、平行平面间的距离 距离问题 P A Q D A Q P 法1 法2 等体积法 3.异面直线公垂线的长 (点到平面的距离) 先求直线AC，BD的公垂线的方向向量 再在直线上各找一点，如 则 A D C B N M Q 夹角问题 线线角θ： 线面角θ： 面面角θ： 二面角θ： ∃λ∈R，使得u1＝λu2 u1⊥n1 u1·n1＝0 n1∥n2 ∃λ∈R，使得n1＝λn2 u1⊥u2 u1·u2＝0 u1∥n1 ∃λ∈R，使得u1＝λn1 n1⊥n2 n1·n2＝0 u1∥u2 ; $