第4章 立体几何（知识考点）-【中职专用】高中数学单元复习讲与测（高教版2021·拓展模块一上册）

第4章 立体几何 知识点一：平面 1．平面的特征和表示 (1)平面的特征 几何里的“平面”没有边界，画平面的时候一般用平行四边形表示平面. (2)平面的画法 常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍. 一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来. (3)平面的表示方法 ①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD. (4)点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 2．平面的基本性质 公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α ①确定直线在平面内的依据 ②判定点在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据 ②判定点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据 ②判定点在直线上 知识点二：直线与直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系 2．公理4及等角定理 (1)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．符号表示：⇒a∥c． (2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理 定理 文字语言 符号表示 图形语言 异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线l与A B是异面直线 (2)异面直线所成的角 ①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角． ②异面直线所成的角θ的取值范围：． ③当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b． (3)求两条异面直线所成角的步骤 ①恰当选点，用平移法构造出一个相交角． ②证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)． ③把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数． ④若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角． 知识点三：直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 2．直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 ⇒a∥α 图形语言 (2)直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m 图形语言 3．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 定义 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直 记法 a⊥α 有关概念 直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 注意：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离． (2)直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m⊂α，n⊂α，则a⊥α 图形语言 (3)直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线